Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{1}{6}{{x}^{4}}-\dfrac{7}{3}{{x}^{2}}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Có bao nhiêu điểm A thuộc $\left( C \right)$ sao cho tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại A cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt $M\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),N\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ (M, N khác A) thỏa mãn ${{y}_{1}}-{{y}_{2}}=4\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)$
A. 3
B. 0
C. 1
D. 2
A. 3
B. 0
C. 1
D. 2
Đường thẳng $MN$ có VTCP là $\overrightarrow{NM}=\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}};{{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)=\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}};4\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right) \right)$
Chọn VTCP là $\overrightarrow{u}=\left( 1;4 \right)\Rightarrow VTPT \overrightarrow{n}=\left( 4;-1 \right)$
Phương trình đường thẳng MN: $4\left( x-{{x}_{1}} \right)-\left( y-{{y}_{1}} \right)=0\Leftrightarrow y=4x-4{{x}_{1}}+\dfrac{1}{6}x_{1}^{4}-\dfrac{7}{3}x_{1}^{2}$
Đường thẳng MN còn tiếp xúc với đồ thị (C) tại điểm A. Như vậy điểm A có hoành độ là x0 thì x0 là nghiệm của phương trình $\dfrac{2}{3}{{x}^{3}}-\dfrac{14}{3}x=4\Leftrightarrow {{x}^{3}}-7x-6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=-2 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$
+) $x=-1:A\left( -1;-\dfrac{13}{6} \right)$. Vì đường thẳng MN tiếp xúc với đồ thị (C) tại A nên ta có:
$-\dfrac{13}{6}=-4+\dfrac{1}{6}x_{1}^{4}-\dfrac{7}{4}x_{1}^{2}-4{{x}_{1}}\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+1 \right)}^{2}}\left( x_{1}^{2}-2{{x}_{1}}-11 \right)=0\left( 1 \right)$
(1) có 1 nghiệm kép và 2 nghiệm đơn phân biệt nên đường thẳng MN tiếp xúc với đồ thị (C) tại A và cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt M, N khác A.
+) $x=-2:A\left( -2;-\dfrac{20}{3} \right)$. Vì đường thẳng MN tiếp xúc với đồ thị (C) tại A nên ta có:
$-\dfrac{20}{3}=-8+\dfrac{1}{6}x_{1}^{4}-\dfrac{7}{4}x_{1}^{2}-4{{x}_{1}}\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+2 \right)}^{2}}\left( x_{1}^{2}-4{{x}_{1}}-4 \right)=0\left( 2 \right)$
(2) có 1 nghiệm kép và 2 nghiệm đơn phân biệt nên đường thẳng MN tiếp xúc với đồ thị (C) tại A và cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt M, N khác A.
+) $x=3:A\left( 3;-\dfrac{15}{2} \right)$. Vì đường thẳng MN tiếp xúc với đồ thị (C) tại A nên ta có:
$-\dfrac{15}{2}=12+\dfrac{1}{6}x_{1}^{4}-\dfrac{7}{4}x_{1}^{2}-4{{x}_{1}}\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}-3 \right)}^{2}}\left( x_{1}^{2}+6{{x}_{1}}+13 \right)=0\left( 3 \right)$
(3) chỉ có 1 nghiệm kép nên đường thẳng MN chỉ tiếp xúc với đồ thị (C) tại A nên loại.
Vậy có 2 điểm A thoả mãn yêu cầu đề bài
Chọn VTCP là $\overrightarrow{u}=\left( 1;4 \right)\Rightarrow VTPT \overrightarrow{n}=\left( 4;-1 \right)$
Phương trình đường thẳng MN: $4\left( x-{{x}_{1}} \right)-\left( y-{{y}_{1}} \right)=0\Leftrightarrow y=4x-4{{x}_{1}}+\dfrac{1}{6}x_{1}^{4}-\dfrac{7}{3}x_{1}^{2}$
Đường thẳng MN còn tiếp xúc với đồ thị (C) tại điểm A. Như vậy điểm A có hoành độ là x0 thì x0 là nghiệm của phương trình $\dfrac{2}{3}{{x}^{3}}-\dfrac{14}{3}x=4\Leftrightarrow {{x}^{3}}-7x-6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=-2 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$
+) $x=-1:A\left( -1;-\dfrac{13}{6} \right)$. Vì đường thẳng MN tiếp xúc với đồ thị (C) tại A nên ta có:
$-\dfrac{13}{6}=-4+\dfrac{1}{6}x_{1}^{4}-\dfrac{7}{4}x_{1}^{2}-4{{x}_{1}}\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+1 \right)}^{2}}\left( x_{1}^{2}-2{{x}_{1}}-11 \right)=0\left( 1 \right)$
(1) có 1 nghiệm kép và 2 nghiệm đơn phân biệt nên đường thẳng MN tiếp xúc với đồ thị (C) tại A và cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt M, N khác A.
+) $x=-2:A\left( -2;-\dfrac{20}{3} \right)$. Vì đường thẳng MN tiếp xúc với đồ thị (C) tại A nên ta có:
$-\dfrac{20}{3}=-8+\dfrac{1}{6}x_{1}^{4}-\dfrac{7}{4}x_{1}^{2}-4{{x}_{1}}\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+2 \right)}^{2}}\left( x_{1}^{2}-4{{x}_{1}}-4 \right)=0\left( 2 \right)$
(2) có 1 nghiệm kép và 2 nghiệm đơn phân biệt nên đường thẳng MN tiếp xúc với đồ thị (C) tại A và cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt M, N khác A.
+) $x=3:A\left( 3;-\dfrac{15}{2} \right)$. Vì đường thẳng MN tiếp xúc với đồ thị (C) tại A nên ta có:
$-\dfrac{15}{2}=12+\dfrac{1}{6}x_{1}^{4}-\dfrac{7}{4}x_{1}^{2}-4{{x}_{1}}\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}-3 \right)}^{2}}\left( x_{1}^{2}+6{{x}_{1}}+13 \right)=0\left( 3 \right)$
(3) chỉ có 1 nghiệm kép nên đường thẳng MN chỉ tiếp xúc với đồ thị (C) tại A nên loại.
Vậy có 2 điểm A thoả mãn yêu cầu đề bài
Đáp án D.