Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{1}{3}{{x}^{4}}-\dfrac{14}{3}{{x}^{2}}$ có đồ thị (C). Có bao nhiêu điểm A thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt $M\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right), N\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right) $ (M, N khác A) thoả mãn ${{y}_{1}}-{{y}_{2}}=8\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)$ ?
A. 1.
B. 2.
C. 0.
D. 3.
A. 1.
B. 2.
C. 0.
D. 3.
Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại A.
$y'=\dfrac{4}{3}{{x}^{3}}-\dfrac{28}{3}x\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-\sqrt{7} \\
& x=0 \\
& x=\sqrt{7} \\
\end{aligned} \right.. $ Ta có: $ y{_{1}}-{{y}_{2}}=8\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\Rightarrow \dfrac{y{_{1}}-{{y}_{2}}}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}=8\Rightarrow {{k}_{d}}=8$.
Do đó tiếp tuyến tại A cắt (C) tại M, N
$\Rightarrow {{x}_{A}}\in \left( -\sqrt{7};0 \right)$ Vì $\dfrac{4}{3}x_{A}^{3}-\dfrac{28}{3}{{x}_{A}}=8\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{A}}=3 \\
& {{x}_{A}}=-1 \\
& {{x}_{A}}=-2 \\
\end{aligned} \right.$
Đối chiếu điều kiện: $\left[ \begin{aligned}
& {{x}_{A}}=-1 \\
& {{x}_{A}}=-2 \\
\end{aligned} \right..$ Vậy có 2 điểm A thoả mãn yêu cầu bài toán.
$y'=\dfrac{4}{3}{{x}^{3}}-\dfrac{28}{3}x\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-\sqrt{7} \\
& x=0 \\
& x=\sqrt{7} \\
\end{aligned} \right.. $ Ta có: $ y{_{1}}-{{y}_{2}}=8\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\Rightarrow \dfrac{y{_{1}}-{{y}_{2}}}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}=8\Rightarrow {{k}_{d}}=8$.
Do đó tiếp tuyến tại A cắt (C) tại M, N
$\Rightarrow {{x}_{A}}\in \left( -\sqrt{7};0 \right)$ Vì $\dfrac{4}{3}x_{A}^{3}-\dfrac{28}{3}{{x}_{A}}=8\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{A}}=3 \\
& {{x}_{A}}=-1 \\
& {{x}_{A}}=-2 \\
\end{aligned} \right.$
Đối chiếu điều kiện: $\left[ \begin{aligned}
& {{x}_{A}}=-1 \\
& {{x}_{A}}=-2 \\
\end{aligned} \right..$ Vậy có 2 điểm A thoả mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án B.