Cho hàm số $y=\dfrac{1}{3}{{x}^{4}}-\dfrac{14}{3}{{x}^{2}}$ có đồ...

Gọi $A\left( a;\dfrac{1}{3}{{a}^{4}}-\dfrac{14}{3}{{a}^{2}} \right)\in (C)$ nên phương trình tiếp tuyến d là
$y-{{y}_{A}}=y'({{x}_{A}})(x-{{x}_{A}})\Leftrightarrow y=\left( \dfrac{4}{3}{{a}^{3}}-\dfrac{28}{3}a \right).(x-a)+\dfrac{1}{3}{{a}^{4}}-\dfrac{14}{3}{{a}^{2}}$
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là
$\dfrac{1}{3}{{x}^{4}}-\dfrac{14}{3}{{x}^{2}}=\left( \dfrac{4}{3}{{a}^{3}}-\dfrac{28}{3}a \right).(x-a)+\dfrac{1}{3}{{a}^{4}}-\dfrac{14}{3}{{a}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{x}^{4}}-14{{x}^{2}}-(4{{a}^{3}}-28a)(x-a)-{{a}^{4}}+14{{a}^{2}}=0$
$\Leftrightarrow {{(x-a)}^{2}}({{x}^{2}}+2ax+3{{a}^{2}}-14)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=a \\
& {{x}^{2}}+2ax+3{{a}^{2}}-14=0(1) \\
\end{aligned} \right.$
Ta tìm điều kiện để (1) có 2 nghiệm phân biệt khác $a\Leftrightarrow \dfrac{7}{3}\ne {{a}^{2}}<7$
Theo bài ra, hệ số góc của tiếp tuyến là $k=8\Rightarrow a=\left\{ -2;-1;3 \right\}$
Vậy có tất cả hai giá trị a cần tìm (loại giá trị a = 3).
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f (x) tại điểm $M({{x}_{0}};{{y}_{0}})$ là:
$y=f'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})+f({{x}_{0}})$
Ta có:
${{y}_{1}}=f'({{x}_{0}})({{x}_{1}}-{{x}_{0}})+f({{x}_{0}})$
${{y}_{2}}=f'({{x}_{0}})({{x}_{2}}-{{x}_{0}})+f({{x}_{0}})$
$\Rightarrow {{y}_{1}}-{{y}_{2}}=f'({{x}_{0}})({{x}_{1}}-{{x}_{2}})$
Do đó $f'({{x}_{0}})=8$