Cho hàm số $y={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-2x^2+3x-1$ có đồ thị...

Giả sử $M(x_M;y_M),N(x_N;y_N)$ suy ra $y^{\prime }\left(x_M\right)=y^{\prime }\left(x_N\right)=k$.
Ta có: $y={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-2x^2+3x-1=y^{\prime }(x)({\displaystyle \frac{1}{3}}x-{\displaystyle \frac{2}{3}})-{\displaystyle \frac{2}{3}}x+1$.
$M,N$ thuộc đồ thị $\left(C\right)$ nên $\{\begin{array}{rl}& y_M=y^{\prime }\left(x_M\right)({\displaystyle \frac{1}{3}}{x}_M-{\displaystyle \frac{2}{3}})-{\displaystyle \frac{2}{3}}{x}_M+1\\ & y_N=y^{\prime }\left(x_N\right)({\displaystyle \frac{1}{3}}{x}_N-{\displaystyle \frac{2}{3}})-{\displaystyle \frac{2}{3}}{x}_N+1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& y_M=({\displaystyle \frac{k}{3}}-{\displaystyle \frac{2}{3}})x_M-{\displaystyle \frac{2k}{3}}+1\\ & y_N=({\displaystyle \frac{k}{3}}-{\displaystyle \frac{2}{3}})x_N-{\displaystyle \frac{2k}{3}}+1\end{array}$
Do đó đường thẳng $MN$ có phương trình: $y=({\displaystyle \frac{k}{3}}-{\displaystyle \frac{2}{3}})x-{\displaystyle \frac{2k}{3}}+1$.
Mặt khác do $OB=2OA$ nên đường thẳng $MN$ có hệ số góc bằng $2$ hoặc $-2$.
Suy ra $[\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{k}{3}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}=2\\ & {\displaystyle \frac{k}{3}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}=-2\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& k=8\\ & k=-4\end{array}$.
Ta có: $y^{\prime }\left(x\right)=x^2-4x+3$
Với $k=-4\Rightarrow x_M,x_N$ là nghiệm của phương trình $x^2-4x+3=-4\iff x^2-4x+7=0\iff$ phương trình vô nghiệm.
Với $k=8\Rightarrow x_M,x_N$ là nghiệm của phương trình $x^2-4x-5=0\iff [\begin{array}{rl}& x=-1\\ & x=5\end{array}$.
$\Rightarrow M(-1;-{\displaystyle \frac{19}{3}}),N(5;{\displaystyle \frac{17}{3}})$
Từ đó tìm được phương trình đường thẳng $MN$ : $y=2x-{\displaystyle \frac{13}{3}}$.
Vậy diện tích cần tìm là $S=\underset{-1}{\overset{5}{\int }}|{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-2x^2+x+{\displaystyle \frac{10}{3}}|\text{d}x={\displaystyle \frac{27}{2}}$.