Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}$ có đồ thị $(P)$. Xét các điểm $A, B$ thuộc $(P)$ sao cho tiếp tuyến tại $A$ và $B$ vuông góc với nhau. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P)$ và đường thẳng $AB$ bằng $\dfrac{9}{4}$. Gọi $x_{1}^{{}}, x_{2}^{{}}$ lần lượt là hoành độ của $A$ và $B$. Giá trị của ${{(x_{1}^{{}}+ x_{2}^{{}})}^{2}}$ bằng :
A. $5$.
B. $13$.
C. $11$.
D. $7$.
A. $5$.
B. $13$.
C. $11$.
D. $7$.
Giả sử phương trình đường thẳng $AB$ là : $y= ax+b$ ta có
phương trình hoành độ giao điểm : $\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}\text{=} \text{a}x+b\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{{x}^{2}}\text{- a}x\text{ - }b=0 (*)$
Theo đề bài ta có $ x_{1}^{{}}, x_{2}^{{}}$ là hai nghiệm của $\left( * \right)$ nên $\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}\text{- a}x\text{- }b=\dfrac{1}{2}(x-x_{1}^{{}})(x-x_{2}^{{}})$
Giả sử ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P)$ và đường thẳng $AB$ là:
$S=\int\limits_{x_{1}^{{}}}^{x_{2}^{{}}}{\text{(ax}+b-\dfrac{1}{2}{{x}^{2}})dx}=-\dfrac{1}{2}\int\limits_{x_{1}^{{}}}^{x_{2}^{{}}}{(x-x_{1}^{{}})(x-x_{2}^{{}})dx}=\dfrac{9}{4}$ $\Leftrightarrow -\dfrac{{{(x_{1}^{{}}-x_{2}^{{}})}^{3}}}{12}=\dfrac{9}{4}\Rightarrow x_{1}^{{}}-x_{2}^{{}}=-3 (1)$
Ta lại có tiếp tuyến tại $A$ và $B$ vuông góc với nhau nên $x_{1}^{{}}. x_{2}^{{}}=-1 (2)$
Từ (1) và (2) suy ra ${{(x_{1}^{{}}+ x_{2}^{{}})}^{2}}={{(x_{1}^{{}}- x_{2}^{{}})}^{2}}+4x_{1}^{{}}.x_{2}^{{}}=9-4=5$
phương trình hoành độ giao điểm : $\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}\text{=} \text{a}x+b\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{{x}^{2}}\text{- a}x\text{ - }b=0 (*)$
Theo đề bài ta có $ x_{1}^{{}}, x_{2}^{{}}$ là hai nghiệm của $\left( * \right)$ nên $\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}\text{- a}x\text{- }b=\dfrac{1}{2}(x-x_{1}^{{}})(x-x_{2}^{{}})$
Giả sử ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P)$ và đường thẳng $AB$ là:
$S=\int\limits_{x_{1}^{{}}}^{x_{2}^{{}}}{\text{(ax}+b-\dfrac{1}{2}{{x}^{2}})dx}=-\dfrac{1}{2}\int\limits_{x_{1}^{{}}}^{x_{2}^{{}}}{(x-x_{1}^{{}})(x-x_{2}^{{}})dx}=\dfrac{9}{4}$ $\Leftrightarrow -\dfrac{{{(x_{1}^{{}}-x_{2}^{{}})}^{3}}}{12}=\dfrac{9}{4}\Rightarrow x_{1}^{{}}-x_{2}^{{}}=-3 (1)$
Ta lại có tiếp tuyến tại $A$ và $B$ vuông góc với nhau nên $x_{1}^{{}}. x_{2}^{{}}=-1 (2)$
Từ (1) và (2) suy ra ${{(x_{1}^{{}}+ x_{2}^{{}})}^{2}}={{(x_{1}^{{}}- x_{2}^{{}})}^{2}}+4x_{1}^{{}}.x_{2}^{{}}=9-4=5$
Đáp án A.