Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ có đồ thị $\left( C \right),$ biết rằng (C) đi qua điểm $A\left( -1;0 \right),$ tiếp tuyến d tại A của (C) cắt (C) tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2, diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị (C) và hai đường thẳng $x=0;x=2$ có diện tích bằng $\dfrac{28}{5}$ (phần gạch chéo trong hình vẽ).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị (C) và hai đường thẳng $x=-1,x=0$ có diện tích bằng
A. $\dfrac{2}{5}.$
B. $\dfrac{1}{9}.$
C. $\dfrac{2}{9}.$
D. $\dfrac{1}{5}.$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị (C) và hai đường thẳng $x=-1,x=0$ có diện tích bằng
A. $\dfrac{2}{5}.$
B. $\dfrac{1}{9}.$
C. $\dfrac{2}{9}.$
D. $\dfrac{1}{5}.$
Điểm $A\left( -1;0 \right)$ thuộc đồ thị hàm số $\left( C \right)\Rightarrow a+b+c=0$.
Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $A\left( -1;0 \right)$ là $\left( d \right):y={y}'\left( -1 \right)\left( x+1 \right)=\left( -4\text{a}-2b \right)\left( x+1 \right)$.
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và $\left( d \right)$ là $\left( -4\text{a}-2b \right)\left( x+1 \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ (*).
Mà $x=0,x=2$ là nghiệm của (*) suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& -4\text{a}-2b=c \\
& -12\text{a}-6b=16\text{a}+4b+c \\
\end{aligned} \right.$(1).
Và $\dfrac{28}{5}=\int\limits_{0}^{2}{\left[ \left( -4\text{a}-2b \right)\left( x+1 \right)-a{{x}^{4}}-b{{x}^{2}}-c \right]dx}=4\left( -4a-2b \right)-\dfrac{32}{3}a-\dfrac{8}{3}b-2a=\dfrac{28}{5}$ (2).
Từ đó (1), (2) suy ra $a=1;b=-3;c=2\to y={{x}^{4}}-3{{\text{x}}^{2}}+2$.
Vậy diện tích cần tính là $S=\int\limits_{-1}^{0}{\left| 2\text{x}+2-{{x}^{4}}+3{{\text{x}}^{2}}-2 \right|d\text{x}}=\dfrac{1}{5}$.
Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $A\left( -1;0 \right)$ là $\left( d \right):y={y}'\left( -1 \right)\left( x+1 \right)=\left( -4\text{a}-2b \right)\left( x+1 \right)$.
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và $\left( d \right)$ là $\left( -4\text{a}-2b \right)\left( x+1 \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ (*).
Mà $x=0,x=2$ là nghiệm của (*) suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& -4\text{a}-2b=c \\
& -12\text{a}-6b=16\text{a}+4b+c \\
\end{aligned} \right.$(1).
Và $\dfrac{28}{5}=\int\limits_{0}^{2}{\left[ \left( -4\text{a}-2b \right)\left( x+1 \right)-a{{x}^{4}}-b{{x}^{2}}-c \right]dx}=4\left( -4a-2b \right)-\dfrac{32}{3}a-\dfrac{8}{3}b-2a=\dfrac{28}{5}$ (2).
Từ đó (1), (2) suy ra $a=1;b=-3;c=2\to y={{x}^{4}}-3{{\text{x}}^{2}}+2$.
Vậy diện tích cần tính là $S=\int\limits_{-1}^{0}{\left| 2\text{x}+2-{{x}^{4}}+3{{\text{x}}^{2}}-2 \right|d\text{x}}=\dfrac{1}{5}$.
Đáp án D.