Cho hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + c$ có đồ thị $\left( C...

The Knowledge · 16/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số

y = a x^{4} + b x^{2} + c

có đồ thị

(C),

biết rằng (C) đi qua điểm

A (- 1; 0),

tiếp tuyến d tại A của (C) cắt (C) tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2, diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị (C) và hai đường thẳng

x = 0; x = 2

có diện tích bằng

\frac{28}{5}

(phần gạch chéo trong hình vẽ).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị (C) và hai đường thẳng

x = - 1, x = 0

có diện tích bằng
A.

\frac{2}{5} .

B.

\frac{1}{9} .

C.

\frac{2}{9} .

D.

\frac{1}{5} .

Điểm

A (- 1; 0)

thuộc đồ thị hàm số

(C) \Rightarrow a + b + c = 0

.
Phương trình tiếp tuyến của

(C)

tại

A (- 1; 0)

là

(d) : y = y^{'} (- 1) (x + 1) = (- 4 a - 2 b) (x + 1)

.
Phương trình hoành độ giao điểm của

(C)

và

(d)

là

(- 4 a - 2 b) (x + 1) = a x^{4} + b x^{2} + c

(*).
Mà

x = 0, x = 2

là nghiệm của (*) suy ra

{\begin{aligned} - 4 a - 2 b = c \\ - 12 a - 6 b = 16 a + 4 b + c \end{aligned}

(1).
Và

\frac{28}{5} = \int_{0}^{2} [(- 4 a - 2 b) (x + 1) - a x^{4} - b x^{2} - c] d x = 4 (- 4 a - 2 b) - \frac{32}{3} a - \frac{8}{3} b - 2 a = \frac{28}{5}

(2).
Từ đó (1), (2) suy ra

a = 1; b = - 3; c = 2 \to y = x^{4} - 3 x^{2} + 2

.
Vậy diện tích cần tính là

S = \int_{- 1}^{0} | 2 x + 2 - x^{4} + 3 x^{2} - 2 | d x = \frac{1}{5}

.

Đáp án D.

Cho hàm số y=ax4+bx2+c có đồ thị $\left( C...