Cho hàm số $y=a{{x}^{3}}+cx+d,a\ne 0$ có $\underset{x\in \left(...

Vì $y=a{{x}^{3}}+cx+d,a\ne 0$ là hàm số bậc ba và có $\underset{x\in \left( -\infty ;0 \right)}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( -2 \right)$ nên $a<0$ và ${y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt.
Ta có ${y}'=3a{{x}^{2}}+c=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow ac<0.$
Vậy với $a<0,c>0$ có ${y}'=0$ hai nghiệm đối nhau $x=\pm \sqrt{-\dfrac{c}{3a}}$
Từ đó suy ra:
$\underset{x\in \left( -\infty ;0 \right)}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( -\sqrt{-\dfrac{c}{3a}} \right)\Leftrightarrow -\sqrt{-\dfrac{c}{3a}}=-2\Leftrightarrow \sqrt{-\dfrac{c}{3a}}=2\Leftrightarrow c=-12a$
Ta có bảng biến thiên
Ta suy ra $\underset{x\in \left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( 2 \right)=8a+2c+d=-16+d.$