Cho hàm số $y=a{{x}^{3}}+cx+d$, $a\ne 0$ có $\underset{\left(...

Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}.$
Khi $a>0$ thì $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} y=-\infty $, suy ra hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên $\left( -\infty ;0 \right)$. Vậy $a<0$.
Ta có ${y}'=3a{{x}^{2}}+c.$
Nhận xét: Nếu phương trình ${y}'=0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì ${y}'\le 0\forall x$ nên hàm số đã cho nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Khi đó, hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên $\left( -\infty ;0 \right)$. Do đó, để hàm số có $\underset{\left( -\infty ;0 \right)}{\mathop{Min}} y=y\left( -2 \right)$ thì trước hết hàm số phải có 2 điểm cực trị $\Leftrightarrow \dfrac{-c}{3a}>0$, suy ra ${y}'=0\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{\dfrac{-c}{3a}}$ và bảng biến thiên của hàm số có dạng:

Từ bảng biến thiên ta có $\underset{\left( -\infty ;0 \right)}{\mathop{Min}} y=y\left( -2 \right)\Leftrightarrow -\sqrt{\dfrac{-c}{3a}}=-2\Leftrightarrow c=-12a.$
Với $c=-12a\Rightarrow {y}'=3a{{x}^{2}}-12a$ Khi đó, ${y}'=0\Leftrightarrow x=\pm 2.$
Từ bảng biến thiên ta suy ra $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{Max}} y=y\left( \sqrt{\dfrac{-c}{3a}} \right)=y\left( 2 \right)=d-16a.$