Cho hàm số $y=a{{x}^{3}}+cx+d, a\ne 0$ có $\underset{\left(-\infty; 0 \right)}{\mathop{Min}} y=y\left(-2 \right)$. Giá trị lớn nhất của hàm số...

Nếu $a>0$ : Xét $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} y=-\infty \Rightarrow $ không có GTNN của hàm số trên khoảng $\left( -\infty ;0 \right)$
Nếu $a<0$ : Xét $y'=3a{{x}^{2}}+c$
TH1: phương trình $y'=0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép ta có BBT:

Hàm số không có GTNN trên khoảng $\left( -\infty ;0 \right)$
TH2: phương trình $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}} \left( {{x}_{1}}<{{x}_{2}} \right)$ ta có BBT:

Khi đó để hàm số có $\underset{\left( -\infty ;0 \right)}{\mathop{Min}} y=y\left( -2 \right)$ thì $\left\{ \begin{aligned}
& ac<0 \\
& {{x}_{1}}=-2 \\
& y\left( 0 \right)>y\left( -2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y'\left( -2 \right)=0 \\
& y''\left( -2 \right)>0 \\
& d>-8a-2c+d \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 12a+c=0 \\
& -12a>0 \\
& 8a+2c>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=-12a \\
& a<0 \\
\end{aligned} \right.$
Khi $\left\{ \begin{aligned}
& c=-12a \\
& a<0 \\
\end{aligned} \right. $ ta có hàm số $ y=a{{x}^{3}}-12ax+d $ $ y'=3a{{x}^{2}}-12a=3a\left( {{x}^{2}}-4 \right)$
BBT:

Khi đó $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{Max}} y=y\left( 2 \right)=d-16a.$