Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$. Hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi.
A. $\left[ \begin{aligned}
& a=b=0; c>0 \\
& a>0; {{b}^{2}}-4ac\le 0 \\
\end{aligned} \right. $.
B. $ a\ge 0; {{b}^{2}}-3ac\le 0$.
C. $\left[ \begin{aligned}
& a=b=0; c>0 \\
& a>0; {{b}^{2}}-3ac\ge 0 \\
\end{aligned} \right. $.
D. $\left[ \begin{aligned}
& a=b=0; c>0 \\
& a>0; {{b}^{2}}-3ac\le 0 \\
\end{aligned} \right.$.
A. $\left[ \begin{aligned}
& a=b=0; c>0 \\
& a>0; {{b}^{2}}-4ac\le 0 \\
\end{aligned} \right. $.
B. $ a\ge 0; {{b}^{2}}-3ac\le 0$.
C. $\left[ \begin{aligned}
& a=b=0; c>0 \\
& a>0; {{b}^{2}}-3ac\ge 0 \\
\end{aligned} \right. $.
D. $\left[ \begin{aligned}
& a=b=0; c>0 \\
& a>0; {{b}^{2}}-3ac\le 0 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có ${y}'=3a{{x}^{2}}+2bx+c$
TH1: $a=0$ có ${y}'=2bx+c$ để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow {y}'\ge 0, \forall x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=0 \\
& c>0 \\
\end{aligned} \right.$.
TH2: $a\ne 0$ để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow {y}'\ge 0, \forall x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a>0 \\
& {\Delta }'={{b}^{2}}-3ac\le 0 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy để để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow {y}'\ge 0, \forall x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=b=0; c>0 \\
& a>0; {{b}^{2}}-3ac\le 0 \\
\end{aligned} \right.$.
TH1: $a=0$ có ${y}'=2bx+c$ để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow {y}'\ge 0, \forall x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=0 \\
& c>0 \\
\end{aligned} \right.$.
TH2: $a\ne 0$ để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow {y}'\ge 0, \forall x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a>0 \\
& {\Delta }'={{b}^{2}}-3ac\le 0 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy để để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow {y}'\ge 0, \forall x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=b=0; c>0 \\
& a>0; {{b}^{2}}-3ac\le 0 \\
\end{aligned} \right.$.
Đáp án D.