Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ có đồ thị là $\left( C \right)$. Biết rằng $\left( C \right)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ ${{x}_{1}}>{{x}_{2}}>{{x}_{3}}>0$ và điểm uốn của $\left( C \right)$ có hoành độ ${{x}_{0}}=1$. Tính tổng $S={{x}_{1}}+2x_{2}^{2}+3x_{3}^{4}$, biết rằng ${{\left( 3{{x}_{1}}+4{{x}_{2}}+5{{x}_{3}} \right)}^{2}}=44\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}+{{x}_{3}}{{x}_{1}} \right).$
A. $S=\dfrac{227}{64}.$
B. $S=\dfrac{73}{9}.$
C. $S=\dfrac{59}{16}.$
D. $S=\dfrac{49}{27}.$
A. $S=\dfrac{227}{64}.$
B. $S=\dfrac{73}{9}.$
C. $S=\dfrac{59}{16}.$
D. $S=\dfrac{49}{27}.$
Đồ thị hàm số $\left( C \right)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt nên giả sử
$y=\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)\left( x-{{x}_{3}} \right)$
Đồng thời ${y}'=3{{x}^{2}}-2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}} \right)x+m$, trong đó m là hệ số tự do chỉ phụ thuộc ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}.$
Tổng hai điểm cực trị của hàm số là $\dfrac{2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}} \right)}{3}=2{{x}_{0}}\Rightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=3,\left( 1 \right)$
Lại có ${{\left( 3{{x}_{1}}+4{{x}_{2}}+5{{x}_{3}} \right)}^{2}}=44\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}+{{x}_{3}}{{x}_{1}} \right)$
$\Leftrightarrow 9x_{1}^{2}+16x_{2}^{2}+25x_{3}^{2}-20{{x}_{1}}{{x}_{2}}-4{{x}_{2}}{{x}_{3}}-14{{x}_{3}}{{x}_{1}}=0$
$\Leftrightarrow \dfrac{5}{3}{{\left( 2{{x}_{1}}-3{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{2}}-2{{x}_{3}} \right)}^{2}}+\dfrac{7}{3}{{\left( {{x}_{1}}-3{{x}_{3}} \right)}^{2}}=0\Rightarrow 2{{x}_{1}}=3{{x}_{2}}=6{{x}_{3}},\left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) suy ra ${{x}_{1}}=\dfrac{3}{2};{{x}_{2}}=1;{{x}_{3}}=\dfrac{1}{2}$
Vậy $S={{x}_{1}}+2x_{2}^{2}+3x_{3}^{4}=\dfrac{3}{2}+{{2.1}^{2}}+3.{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{4}}=\dfrac{59}{16}$
$y=\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)\left( x-{{x}_{3}} \right)$
Đồng thời ${y}'=3{{x}^{2}}-2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}} \right)x+m$, trong đó m là hệ số tự do chỉ phụ thuộc ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}.$
Tổng hai điểm cực trị của hàm số là $\dfrac{2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}} \right)}{3}=2{{x}_{0}}\Rightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=3,\left( 1 \right)$
Lại có ${{\left( 3{{x}_{1}}+4{{x}_{2}}+5{{x}_{3}} \right)}^{2}}=44\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}+{{x}_{3}}{{x}_{1}} \right)$
$\Leftrightarrow 9x_{1}^{2}+16x_{2}^{2}+25x_{3}^{2}-20{{x}_{1}}{{x}_{2}}-4{{x}_{2}}{{x}_{3}}-14{{x}_{3}}{{x}_{1}}=0$
$\Leftrightarrow \dfrac{5}{3}{{\left( 2{{x}_{1}}-3{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{2}}-2{{x}_{3}} \right)}^{2}}+\dfrac{7}{3}{{\left( {{x}_{1}}-3{{x}_{3}} \right)}^{2}}=0\Rightarrow 2{{x}_{1}}=3{{x}_{2}}=6{{x}_{3}},\left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) suy ra ${{x}_{1}}=\dfrac{3}{2};{{x}_{2}}=1;{{x}_{3}}=\dfrac{1}{2}$
Vậy $S={{x}_{1}}+2x_{2}^{2}+3x_{3}^{4}=\dfrac{3}{2}+{{2.1}^{2}}+3.{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{4}}=\dfrac{59}{16}$
Đáp án C.