Cho hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+3 \left( a\ne 0 \right)$ có bảng biến thiên như sau: Xác định dấu của hệ số $a,b,c$ ?

Ta có: $f'\left(x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c$
$\left\{ \begin{aligned}
& f'\left(\frac{1}{3} \right)=0 \\
& f'\left(1 \right)=0 \\
& f\left(\frac{1}{3} \right)=\frac{85}{27} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \frac{1}{3}a+\frac{2}{3}b+c=0 \\
& a+b+c=0 \\
& \frac{1}{27}a+\frac{1}{9}b+\frac{1}{3}c+3=\frac{85}{27} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=-2 \\
& c=1 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $a>0, b<0, c>0$.
Cách 2: Thầy Trí Đinh Văn góp ý.
Dựa vào bảng biến thiên: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim y}} =+\infty \Rightarrow a>0$ (Loại được C và D).
Hàm số có hai điểm cực trị ${{x}_{C}},{{x}_{CT}}$.
$\begin{aligned}
& y'=3a{{x}^{2}}+2bx+c \\
& {{x}_{C}}.{{x}_{CT}}=\frac{c}{3a}>0\Rightarrow c>0 \\
& \\
\end{aligned}$
${{x}_{C}}+{{x}_{CT}}=\frac{-2b}{3a}>0\Rightarrow b<0$.