Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=4{{x}^{3}}+2x$. Biết rằng đồ thị hàm số cùng với trục hoành và hai đường thẳng có phương trình $x=a;\ x=b\ \left( a,b\ge 0 \right)$ (hai đường thẳng này cách nhau một đoạn bằng 1) tạo ra hình phẳng có diện tích $S$. Để diện tích $S$ là nhỏ nhất thì tổng $a+b$ bằng:
A. 1
B. 2
C. $\dfrac{5}{2}$
D. 3
A. 1
B. 2
C. $\dfrac{5}{2}$
D. 3
Do hàm số $y=4{{x}^{3}}+2x$ đồng biến nên cắt trục hoành tại điểm duy nhất có hoành độ $x=0$.
Giả sử $b>a$ khi đó ta có $b-a=1\Leftrightarrow b=a+1$.
Ta có diện tích hình phẳng là:
$\begin{aligned}
& S=\int\limits_{a}^{1+a}{\left| 4{{x}^{3}}+2x \right|dx}=\int\limits_{a}^{1+a}{\left( 4{{x}^{3}}+2x \right)dx}=\left( {{x}^{4}}+x \right)\left| _{a}^{1+a} \right. \\
& \ \ \ =\left( {{\left( 1+a \right)}^{4}}+{{\left( 1+a \right)}^{2}} \right)-\left( {{a}^{4}}+{{a}^{2}} \right)=4{{a}^{3}}+6{{a}^{2}}+6a+2=f\left( a \right) \\
\end{aligned}$
Xét hàm số $f\left( a \right)=4{{a}^{3}}+6{{a}^{2}}+6a+2$ có $\underset{\left[ 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }} f\left( a \right)=2\Leftrightarrow a=0,\ b=1$.
Giả sử $b>a$ khi đó ta có $b-a=1\Leftrightarrow b=a+1$.
Ta có diện tích hình phẳng là:
$\begin{aligned}
& S=\int\limits_{a}^{1+a}{\left| 4{{x}^{3}}+2x \right|dx}=\int\limits_{a}^{1+a}{\left( 4{{x}^{3}}+2x \right)dx}=\left( {{x}^{4}}+x \right)\left| _{a}^{1+a} \right. \\
& \ \ \ =\left( {{\left( 1+a \right)}^{4}}+{{\left( 1+a \right)}^{2}} \right)-\left( {{a}^{4}}+{{a}^{2}} \right)=4{{a}^{3}}+6{{a}^{2}}+6a+2=f\left( a \right) \\
\end{aligned}$
Xét hàm số $f\left( a \right)=4{{a}^{3}}+6{{a}^{2}}+6a+2$ có $\underset{\left[ 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }} f\left( a \right)=2\Leftrightarrow a=0,\ b=1$.
Đáp án A.