Cho hàm số $y=2{{x}^{3}}-\left( m+3 \right){{x}^{2}}-2\left( m-6...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho hàm số

y = 2 x^{3} - (m + 3) x^{2} - 2 (m - 6) x + 2019

. Có tất cả bao nhiêu số nguyên m để hàm số trên có hai điểm cực trị đều thuộc đoạn

[0; 3]

?
A. 0
B. 3
C. 2
D. 1

Ta có:

y^{'} = 6 x^{2} - 2 (m + 3) - 2 (m - 6); y^{'} = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - (m + 3) x + 6 - m = 0

\Leftrightarrow m = \frac{3 (x^{2} - x + 2)}{x + 1} = f (x) (*)

Yêu cầu bài toán trở thành "Tìm

m \in Z

, sao cho (*) có 2 nghiệm phân biệt đều thuộc

[0; 3]

".
Xét hàm số

f (x) = \frac{3 (x^{2} - x + 2)}{x + 1}

trên đoạn

[0; 3]

.
Ta có:

f^{'} (x) = \frac{3 (x^{2} + 2 x - 3)}{{(x + 1)}^{2}}; f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} x = 1 \\ x = - 3 \end{aligned}

Từ bảng biến thiên, suy ra:

3 < m \leq 6 \overset{m \in Z}{\to} m \in {4; 5; 6}

Đáp án B.