Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=2{{x}^{3}}-\left( m+3 \right){{x}^{2}}-2\left( m-6 \right)x+2019$. Có tất cả bao nhiêu số nguyên m để hàm số trên có hai điểm cực trị đều thuộc đoạn $\left[ 0;3 \right]$ ?
A. 0
B. 3
C. 2
D. 1
A. 0
B. 3
C. 2
D. 1
Ta có: $y'=6{{x}^{2}}-2\left( m+3 \right)-2\left( m-6 \right); y'=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-\left( m+3 \right)x+6-m=0$
$\Leftrightarrow m=\dfrac{3\left( {{x}^{2}}-x+2 \right)}{x+1}=f\left( x \right)\left( * \right)$
Yêu cầu bài toán trở thành "Tìm $m\in \mathbb{Z}$, sao cho (*) có 2 nghiệm phân biệt đều thuộc $\left[ 0;3 \right]$ ".
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{3\left( {{x}^{2}}-x+2 \right)}{x+1}$ trên đoạn $\left[ 0;3 \right]$.
Ta có: $f'\left( x \right)=\dfrac{3\left( {{x}^{2}}+2x-3 \right)}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}; f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=-3 \\
\end{aligned} \right.$
Từ bảng biến thiên, suy ra:
$3<m\le 6\xrightarrow{m\in \mathbb{Z}}m\in \left\{ 4;5;6 \right\}$
$\Leftrightarrow m=\dfrac{3\left( {{x}^{2}}-x+2 \right)}{x+1}=f\left( x \right)\left( * \right)$
Yêu cầu bài toán trở thành "Tìm $m\in \mathbb{Z}$, sao cho (*) có 2 nghiệm phân biệt đều thuộc $\left[ 0;3 \right]$ ".
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{3\left( {{x}^{2}}-x+2 \right)}{x+1}$ trên đoạn $\left[ 0;3 \right]$.
Ta có: $f'\left( x \right)=\dfrac{3\left( {{x}^{2}}+2x-3 \right)}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}; f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=-3 \\
\end{aligned} \right.$
Từ bảng biến thiên, suy ra:
$3<m\le 6\xrightarrow{m\in \mathbb{Z}}m\in \left\{ 4;5;6 \right\}$
Đáp án B.