Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=2{{x}^{3}}-3\left( m+1 \right){{x}^{2}}+6mx-2$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số có hai cực trị cùng dấu. Số phần tử của $S$ là
A. vô số.
B. $3$.
C. $2$.
D. $1$.
A. vô số.
B. $3$.
C. $2$.
D. $1$.
${y}'=6{{x}^{2}}-6\left( m+1 \right)x+6m$
${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=1 \\
x=m \\
\end{matrix} \right.$
Hàm số có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow $ phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m\ne 1$.
Khi đó, hai cực trị của hàm số là $y\left( 1 \right)=3m-3=3\left( m-1 \right)$
$y\left( m \right)=-{{m}^{3}}+3{{m}^{2}}-2=-\left( m-1 \right)\left( {{m}^{2}}-2m-2 \right)$
Hàm số có hai cực trị cùng dấu $\Leftrightarrow y\left( 1 \right).y\left( m \right)>0$ $\Leftrightarrow -3{{\left( m-1 \right)}^{2}}\left( {{m}^{2}}-2m-2 \right)>0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m\ne 1 \\
1-\sqrt{3}<m<1+\sqrt{3} \\
\end{matrix} \right.$.
Mà $m$ nguyên nên $m\in \left\{ 0; 2 \right\}$.
${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=1 \\
x=m \\
\end{matrix} \right.$
Hàm số có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow $ phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m\ne 1$.
Khi đó, hai cực trị của hàm số là $y\left( 1 \right)=3m-3=3\left( m-1 \right)$
$y\left( m \right)=-{{m}^{3}}+3{{m}^{2}}-2=-\left( m-1 \right)\left( {{m}^{2}}-2m-2 \right)$
Hàm số có hai cực trị cùng dấu $\Leftrightarrow y\left( 1 \right).y\left( m \right)>0$ $\Leftrightarrow -3{{\left( m-1 \right)}^{2}}\left( {{m}^{2}}-2m-2 \right)>0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m\ne 1 \\
1-\sqrt{3}<m<1+\sqrt{3} \\
\end{matrix} \right.$.
Mà $m$ nguyên nên $m\in \left\{ 0; 2 \right\}$.
Đáp án C.