Google
Câu hỏi: Cho hàm số $u\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ 0; 5 \right]$ và có bảng biến thiên như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình $\sqrt{3x}+\sqrt{10-2x}=m.u\left( x \right)$ có nghiệm trên đoạn $\left[ 0; 5 \right]$.
A. 5
B. 6
C. 3
D. 4
A. 5
B. 6
C. 3
D. 4
Dựa vào hình vẽ, ta thấy $v\left( x \right)\in \left[ 1; 4 \right]$ với $\forall x\to \left[ 0; 5 \right]$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\sqrt{3x}+\sqrt{10-2x}$ trên $\left[ 0; 5 \right]$, có
${f}'\left( x \right)=\dfrac{3}{2\sqrt{3x}}-\dfrac{1}{\sqrt{10-2x}}; {f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 3\sqrt{10-2x}=2\sqrt{3x}\Leftrightarrow x=3$
Suy ra $\underset{\left[ 0; 5 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( 0 \right)=\sqrt{10}; \underset{\left[ 0; 5 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( 3 \right)=5$
Khi đó $m=\dfrac{\sqrt{3x}+\sqrt{10-2x}}{u\left( x \right)}$ mà $\dfrac{1}{u\left( x \right)}\in \left[ \dfrac{1}{4}; 1 \right]\Rightarrow \dfrac{f\left( x \right)}{u\left( x \right)}\in \left[ \dfrac{\sqrt{10}}{4}; 5 \right]$
Do đó, phương trình đã cho có nghiệm khi $m\in \left[ \dfrac{\sqrt{10}}{4}; 5 \right]$
Kết hợp $m\in Z\to $ có 5 giá trị nguyên m cần tìm.
Xét hàm số $f\left( x \right)=\sqrt{3x}+\sqrt{10-2x}$ trên $\left[ 0; 5 \right]$, có
${f}'\left( x \right)=\dfrac{3}{2\sqrt{3x}}-\dfrac{1}{\sqrt{10-2x}}; {f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 3\sqrt{10-2x}=2\sqrt{3x}\Leftrightarrow x=3$
Suy ra $\underset{\left[ 0; 5 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( 0 \right)=\sqrt{10}; \underset{\left[ 0; 5 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( 3 \right)=5$
Khi đó $m=\dfrac{\sqrt{3x}+\sqrt{10-2x}}{u\left( x \right)}$ mà $\dfrac{1}{u\left( x \right)}\in \left[ \dfrac{1}{4}; 1 \right]\Rightarrow \dfrac{f\left( x \right)}{u\left( x \right)}\in \left[ \dfrac{\sqrt{10}}{4}; 5 \right]$
Do đó, phương trình đã cho có nghiệm khi $m\in \left[ \dfrac{\sqrt{10}}{4}; 5 \right]$
Kết hợp $m\in Z\to $ có 5 giá trị nguyên m cần tìm.
Đáp án A.