Google
Câu hỏi: Cho hàm số $M$ có đạo hàm liên tục trên $A$. Biết rằng hàm số $OM$ có đồ thị của đạo hàm như hình vẽ dưới đây:
Số điểm cực trị của hàm số $2$ bằng
A. $OAM$.
B. $MB$.
C. $Oxyz,$.
D. $A\left( 4 ; 0 ; 0 \right),$.
A. $OAM$.
B. $MB$.
C. $Oxyz,$.
D. $A\left( 4 ; 0 ; 0 \right),$.
Ta có: ${{\left[ f\left( {{x}^{2}}+2x \right) \right]}^{'}}=\left( 2x+2 \right)f'\left( {{x}^{2}}+2x \right)=2\left( x+1 \right)f'\left( {{x}^{2}}+2x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=2 \\
& x=5 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra:
$\begin{aligned}
& 2\left( x+1 \right)f'\left( {{x}^{2}}+2x \right)=a\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-5 \right) \\
& \Rightarrow f'\left( {{x}^{2}}+2x \right)=\dfrac{a}{2}\left( x-2 \right)\left( x-5 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2 \\
& x=5 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+2x=8 \\
& {{x}^{2}}+2x=35 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Nhận thấy hàm $y=f\left( {{x}^{4}}-4{{\left| x \right|}^{3}}+6{{x}^{2}}-4\left| x \right| \right)$ là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số sẽ đối xứng nhau qua trục tung, do đó số điểm cực trị có dạng $2k+1$ với $k$ là số điểm cực trị có hoành độ dương của hàm số $y=f\left( {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-4x \right)$.
Xét hàm: $y=f\left( {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-4x \right)$ với $x\in \left( 0;+\infty \right)$.
Ta có:
$\begin{aligned}
& y=\left( 4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+12x-4 \right)f'\left( {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-4x \right)=0 \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+12x-4=0 \\
& f'\left( {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-4x \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-4x=8 \\
& {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-4x=35 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=1+\sqrt{3} \\
& x=1-\sqrt{3} \\
& x=1+\sqrt{6} \\
& x=1-\sqrt{6} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$ (Đều là nghiệm đơn).
Do đó hàm số $y=f\left( {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-4x \right)$ có ba điểm cực trị có hoành độ dương.
Vậy hàm $y=f\left( {{x}^{4}}-4{{\left| x \right|}^{3}}+6{{x}^{2}}-4\left| x \right| \right)$ có số điểm cực trị bằng $2.3+1=7$.
& x=-1 \\
& x=2 \\
& x=5 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra:
$\begin{aligned}
& 2\left( x+1 \right)f'\left( {{x}^{2}}+2x \right)=a\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-5 \right) \\
& \Rightarrow f'\left( {{x}^{2}}+2x \right)=\dfrac{a}{2}\left( x-2 \right)\left( x-5 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2 \\
& x=5 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+2x=8 \\
& {{x}^{2}}+2x=35 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Nhận thấy hàm $y=f\left( {{x}^{4}}-4{{\left| x \right|}^{3}}+6{{x}^{2}}-4\left| x \right| \right)$ là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số sẽ đối xứng nhau qua trục tung, do đó số điểm cực trị có dạng $2k+1$ với $k$ là số điểm cực trị có hoành độ dương của hàm số $y=f\left( {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-4x \right)$.
Xét hàm: $y=f\left( {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-4x \right)$ với $x\in \left( 0;+\infty \right)$.
Ta có:
$\begin{aligned}
& y=\left( 4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+12x-4 \right)f'\left( {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-4x \right)=0 \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+12x-4=0 \\
& f'\left( {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-4x \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-4x=8 \\
& {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-4x=35 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=1+\sqrt{3} \\
& x=1-\sqrt{3} \\
& x=1+\sqrt{6} \\
& x=1-\sqrt{6} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$ (Đều là nghiệm đơn).
Do đó hàm số $y=f\left( {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-4x \right)$ có ba điểm cực trị có hoành độ dương.
Vậy hàm $y=f\left( {{x}^{4}}-4{{\left| x \right|}^{3}}+6{{x}^{2}}-4\left| x \right| \right)$ có số điểm cực trị bằng $2.3+1=7$.
Đáp án B.