Google
Câu hỏi: Cho hàm số $g\left( x \right)=f\left( 1-x \right)$ có đạo hàm ${g}'\left( x \right)={{\left( 3-x \right)}^{2021}}{{\left( 2+x \right)}^{2022}}\left[ {{x}^{2}}+\left( m-2 \right)x-3m+6 \right]$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu số nguyên $m\in \left( -5;5 \right)$ để hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ ?
A. $2$.
B. $3$.
C. $7$.
D. $6$.
A. $2$.
B. $3$.
C. $7$.
D. $6$.
$g\left( x \right)=f\left( 1-x \right)$.
Đặt $t=1-x$ $\Rightarrow x=1-t$.
$g\left( x \right)=f\left( t \right)$ $\Rightarrow {g}'\left( x \right)={f}'\left( t \right){{\left( 1-t \right)}^{\prime }}=-{f}'\left( t \right)$. (1)
Mặt khác, ${g}'\left( x \right)={{\left( 3-1+t \right)}^{2021}}{{\left( 2+1-t \right)}^{2022}}\left[ {{\left( 1-t \right)}^{2}}+\left( m-2 \right)\left( 1-t \right)-3m+6 \right]$.
${g}'\left( x \right)={{\left( 3-1+t \right)}^{2021}}{{\left( 2+1-t \right)}^{2022}}\left[ {{\left( 1-t \right)}^{2}}+\left( m-2 \right)\left( 1-t \right)-3m+6 \right]$. ${g}'\left( x \right)={{\left( t+2 \right)}^{2021}}{{\left( 3-t \right)}^{2022}}\left( {{t}^{2}}-mt-2m+5 \right)$. (2)
Từ (1) và (2) suy ra: $\Rightarrow -{f}'\left( t \right)=$ ${{\left( t+2 \right)}^{2021}}{{\left( 3-t \right)}^{2022}}\left( {{t}^{2}}-mt-2m+5 \right)$.
Vậy, ${f}'\left( x \right)=$ $-{{\left( x+2 \right)}^{2021}}{{\left( x-3 \right)}^{2022}}\left( {{x}^{2}}-mx-2m+5 \right)$.
Hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ $\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)\le 0$ $\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$.
Do $-{{\left( x+2 \right)}^{2021}}{{\left( x-3 \right)}^{2022}}\le 0$ $\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$ nên ${f}'\left( x \right)\le 0\Leftrightarrow $ ${{x}^{2}}-mx-2m+5\ge 0$ $\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$.
$\Leftrightarrow m\le \dfrac{{{x}^{2}}+5}{x+2}$ $\forall x\in \left[ 0;+\infty \right)$.
Đặt $g\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}+5}{x+2}$. Ta có: $m\le \dfrac{{{x}^{2}}+5}{x+2}\Leftrightarrow $ $m\le \underset{\left[ 0;+\infty \right)}{\mathop{min}} g\left( x \right)$ $\Leftrightarrow m\le 2$.
Do $m$ nguyên và $m\in (-5;5)$ nên có $m\in \left\{ -4;-3;-2;-1;0;1;2 \right\}$.
Vậy có 7 số nguyên $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đặt $t=1-x$ $\Rightarrow x=1-t$.
$g\left( x \right)=f\left( t \right)$ $\Rightarrow {g}'\left( x \right)={f}'\left( t \right){{\left( 1-t \right)}^{\prime }}=-{f}'\left( t \right)$. (1)
Mặt khác, ${g}'\left( x \right)={{\left( 3-1+t \right)}^{2021}}{{\left( 2+1-t \right)}^{2022}}\left[ {{\left( 1-t \right)}^{2}}+\left( m-2 \right)\left( 1-t \right)-3m+6 \right]$.
${g}'\left( x \right)={{\left( 3-1+t \right)}^{2021}}{{\left( 2+1-t \right)}^{2022}}\left[ {{\left( 1-t \right)}^{2}}+\left( m-2 \right)\left( 1-t \right)-3m+6 \right]$. ${g}'\left( x \right)={{\left( t+2 \right)}^{2021}}{{\left( 3-t \right)}^{2022}}\left( {{t}^{2}}-mt-2m+5 \right)$. (2)
Từ (1) và (2) suy ra: $\Rightarrow -{f}'\left( t \right)=$ ${{\left( t+2 \right)}^{2021}}{{\left( 3-t \right)}^{2022}}\left( {{t}^{2}}-mt-2m+5 \right)$.
Vậy, ${f}'\left( x \right)=$ $-{{\left( x+2 \right)}^{2021}}{{\left( x-3 \right)}^{2022}}\left( {{x}^{2}}-mx-2m+5 \right)$.
Hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ $\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)\le 0$ $\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$.
Do $-{{\left( x+2 \right)}^{2021}}{{\left( x-3 \right)}^{2022}}\le 0$ $\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$ nên ${f}'\left( x \right)\le 0\Leftrightarrow $ ${{x}^{2}}-mx-2m+5\ge 0$ $\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$.
$\Leftrightarrow m\le \dfrac{{{x}^{2}}+5}{x+2}$ $\forall x\in \left[ 0;+\infty \right)$.
Đặt $g\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}+5}{x+2}$. Ta có: $m\le \dfrac{{{x}^{2}}+5}{x+2}\Leftrightarrow $ $m\le \underset{\left[ 0;+\infty \right)}{\mathop{min}} g\left( x \right)$ $\Leftrightarrow m\le 2$.
Do $m$ nguyên và $m\in (-5;5)$ nên có $m\in \left\{ -4;-3;-2;-1;0;1;2 \right\}$.
Vậy có 7 số nguyên $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án C.