Google
Câu hỏi: Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ sao cho ${{x}^{2}}+xf\left( {{e}^{x}} \right)+f\left( {{e}^{x}} \right)=1$ với mọi $x\in \left( 0;+\infty \right)$. Tính tích phân $I=\int\limits_{\sqrt{e}}^{e}{\dfrac{\ln x.f\left( x \right)}{x}dx}$.
A. $I=-\dfrac{1}{8}$.
B. $I=-\dfrac{2}{3}$.
C. $I=\dfrac{1}{12}$.
D. $I=\dfrac{3}{8}$.
A. $I=-\dfrac{1}{8}$.
B. $I=-\dfrac{2}{3}$.
C. $I=\dfrac{1}{12}$.
D. $I=\dfrac{3}{8}$.
Ta có ${{x}^{2}}+xf\left( {{e}^{x}} \right)+f\left( {{e}^{x}} \right)=1\Leftrightarrow \left( x+1 \right)f\left( {{e}^{x}} \right)=1-{{x}^{2}}\Leftrightarrow f\left( {{e}^{x}} \right)=1-x$ (vì $x>0$ )
Thay $x=\ln t$ với $t>1$ ta có $f\left( t \right)=1-\ln t$ với $t>1$
Do đó $I=\int\limits_{\sqrt{e}}^{e}{\dfrac{\left( \ln x \right)f\left( x \right)}{x}dx}=\int\limits_{\sqrt{e}}^{e}{\ln x\left( 1-\ln x \right)d\left( \ln x \right)}=\left. \left( \dfrac{1}{2}{{\ln }^{2}}x-\dfrac{1}{3}{{\ln }^{3}}x \right) \right|_{\sqrt{e}}^{e}=\dfrac{1}{12}$
Thay $x=\ln t$ với $t>1$ ta có $f\left( t \right)=1-\ln t$ với $t>1$
Do đó $I=\int\limits_{\sqrt{e}}^{e}{\dfrac{\left( \ln x \right)f\left( x \right)}{x}dx}=\int\limits_{\sqrt{e}}^{e}{\ln x\left( 1-\ln x \right)d\left( \ln x \right)}=\left. \left( \dfrac{1}{2}{{\ln }^{2}}x-\dfrac{1}{3}{{\ln }^{3}}x \right) \right|_{\sqrt{e}}^{e}=\dfrac{1}{12}$
Đáp án C.