Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)={{x}^{4}}+4m{{x}^{3}}+3\left( m+1 \right){{x}^{2}}+1$. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại. Tính tổng các phần tử của tập S.
A. 1.
B. 2.
C. 6.
D. 0.
A. 1.
B. 2.
C. 6.
D. 0.
Lời giải: Xét $f\left( x \right)={{x}^{4}}+4m{{x}^{3}}+3\left( m+1 \right){{x}^{2}}+1$, có $f'\left( x \right)=4{{x}^{3}}+12m{{x}^{2}}+6\left( m+1 \right)x;\forall x\in \mathbb{R}$
Phương trình $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}+12m{{x}^{2}}+6\left( m+1 \right)x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& 2{{x}^{2}}+6mx+3m+3=0(*) \\
\end{aligned} \right.$
Vì hệ số a = 1 > 0 nên để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại
$\Leftrightarrow $ Phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép $\Leftrightarrow \Delta {{'}_{\left( * \right)}}\le 0\Leftrightarrow \dfrac{1-\sqrt{7}}{3}\le m\le \dfrac{1+\sqrt{7}}{3}$
Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$, ta được $m=\left\{ 0;1 \right\}\Rightarrow \sum{m}=1$.
Phương trình $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}+12m{{x}^{2}}+6\left( m+1 \right)x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& 2{{x}^{2}}+6mx+3m+3=0(*) \\
\end{aligned} \right.$
Vì hệ số a = 1 > 0 nên để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại
$\Leftrightarrow $ Phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép $\Leftrightarrow \Delta {{'}_{\left( * \right)}}\le 0\Leftrightarrow \dfrac{1-\sqrt{7}}{3}\le m\le \dfrac{1+\sqrt{7}}{3}$
Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$, ta được $m=\left\{ 0;1 \right\}\Rightarrow \sum{m}=1$.
Đáp án A.