Cho hàm số $f(x)=x^{4}-2 x^{2}+m,(m$ là tham số thực). Gọi $S$ là...

Xét hàm số $f(x)=x^{4}-2 x^{2}+m$, hàm số liên tục trên đoạn $\left[ 1;2 \right]$.
Ta có: ${f}'(x)=4{{x}^{3}}-4x>0,\forall x\in (1;2)\Rightarrow $ Hàm số $f(x)$ đồng biến trên đoạn $\left[ 1;2 \right]$, do đó $\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }} f(x)=m+8;\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} f(x)=m-1$.
TH1: $m-1 \geq 0 \Leftrightarrow 1 \leq m \leq 10$ thì $\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }} \left| f(x) \right|=m+8;\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} \left| f(x) \right|=m-1$.
Khi đó:
$\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }} \left| f(x) \right|+\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} \left| f(x) \right|\ge 10\Leftrightarrow m+8+m-1\ge 10\Rightarrow m\ge \dfrac{3}{2}\Rightarrow m\in \{2;3;4;\ldots ;10\}$
$\Rightarrow$ trường hợp này có 9 số nguyên.
TH2: $m+8 \leq 0 \Leftrightarrow-10 \leq m \leq-8$ thì $\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }} \left| f(x) \right|=-m+1;\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} \left| f(x) \right|=m-8$.
Khi đó:
$\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }} \left| f(x) \right|+\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} \left| f(x) \right|\ge 10\Leftrightarrow -m+1-m-8\ge 10\Rightarrow -10\le m\le \dfrac{-17}{2}\Rightarrow m\in \{-10;-9\}$
$\Rightarrow$ trường hợp này có 2 số nguyên.
TH3: $-8<m<1$ thì $\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} \left| f(x) \right|=0;\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }} \left| f(x) \right|=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
-m+1 khi-8<m\le \dfrac{-7}{2} \\
m+8 khi\dfrac{-7}{2}<m<1 \\
\end{array} \right.$
Do $m$ là số nguyên nên: $\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }} |f(x)|+\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} |f(x)|\ge 10\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
-m+1\ge 10,khi-8<m\le -4 \\
m+8\ge 10,\text{ khi }-4<m<1 \\
\end{matrix} \right.$
$\Rightarrow$ không tồn tại $m$ thỏa mãn.
Vậy số phần tử của tập $S$ là 11 .