Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+2$. Hãy tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho bất phương trình $f(3x+1)+9{{x}^{2}}-6x+1\le m$ đúng với mọi $x\in [0;1]$.
A. $m\ge 18$.
B. $m\ge 9$.
C. $m\ge 10$.
D. $m\ge 19$.
A. $m\ge 18$.
B. $m\ge 9$.
C. $m\ge 10$.
D. $m\ge 19$.
Ta có $f'(x)=3{{x}^{2}}-12x+9$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=f(3x+1)+9{{x}^{2}}-6x+1$ ta có $g'\left( x \right)=3f'(3x+1)+18x-6$ khi đó $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f'(3x+1)=-2\left( 3x+1 \right)+4$. $\left( 1 \right)$
Đặt $t=3x+1$ khi đó mọi $x\in [0;1]\Rightarrow t\in [1;4]$ khi đó $\left( 1 \right)$ trở thành $f'(t)=-2t+4\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}-10t+5=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=\dfrac{5-\sqrt{10}}{3}\notin \left[ 1;4 \right] \\
& t=\dfrac{5+\sqrt{10}}{3}\in \left[ 1;4 \right] \\
\end{aligned} \right. $. Ta có $ g\left( 1 \right)=3 $; $ g\left( 4 \right)=10 $;$ g\left( \dfrac{3+\sqrt{10}}{3} \right)\approx 0.3\Rightarrow \underset{[1;4]}{\mathop{\max }} g\left( t \right)=10$.
Do đó để $f(3x+1)+9{{x}^{2}}-6x+1\le m\Rightarrow m\ge 10.$
Xét hàm số $g\left( x \right)=f(3x+1)+9{{x}^{2}}-6x+1$ ta có $g'\left( x \right)=3f'(3x+1)+18x-6$ khi đó $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f'(3x+1)=-2\left( 3x+1 \right)+4$. $\left( 1 \right)$
Đặt $t=3x+1$ khi đó mọi $x\in [0;1]\Rightarrow t\in [1;4]$ khi đó $\left( 1 \right)$ trở thành $f'(t)=-2t+4\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}-10t+5=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=\dfrac{5-\sqrt{10}}{3}\notin \left[ 1;4 \right] \\
& t=\dfrac{5+\sqrt{10}}{3}\in \left[ 1;4 \right] \\
\end{aligned} \right. $. Ta có $ g\left( 1 \right)=3 $; $ g\left( 4 \right)=10 $;$ g\left( \dfrac{3+\sqrt{10}}{3} \right)\approx 0.3\Rightarrow \underset{[1;4]}{\mathop{\max }} g\left( t \right)=10$.
Do đó để $f(3x+1)+9{{x}^{2}}-6x+1\le m\Rightarrow m\ge 10.$
Đáp án C.