Google
Câu hỏi: Cho hàm số: $f(x)=x^3-6 x^2+9 x$. Đặt $f^k(x)=f\left(f^{k-1}(x)\right.$ ) (với $\mathrm{k}$ là số tự nhiên lớn hơn 1). Tính số nghiệm của phương trình $f^6(x)=0$.
A. 365 .
B. 730 .
C. 364 .
D. 729 .
A. 365 .
B. 730 .
C. 364 .
D. 729 .
Có: $f(x)=x^3-6 x^2+9 x=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \\ x=3\end{array}\right.$
$f^k(x)=0 \Leftrightarrow f\left(f^{k-1}(x)\right)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}f^{k-1}(x)=0 \\ f^{k-1}(x)=3\end{array}\right.$
Mà $f(x)=3$ có 3 nghiệm phân biệt đều thuộc khoảng $(0 ; 4), f(x)=a$ với a thuộc $(0 ; 4)$ cũng có 3 nghiệm phân biệt.
Đặt $u_k$ là số nghiệm của phương trình $f^k(x)=0$. Có $u_1=2$
Đặt $v_k$ là số nghiệm của phương trình $f^k(x)=3$. Có: $v_1=3 ; v_2=9 ; \ldots ; v_k=3^k$
Ta có: $u_k=u_{k-1}+v_{k-1}=2+3+3^2+\ldots+3^{k-1}=1+1+3+3^2+\ldots+3^{k-1}=\dfrac{3^k+1}{2}$
Vậy $u_6=\dfrac{3^6+1}{2}=365$.
$f^k(x)=0 \Leftrightarrow f\left(f^{k-1}(x)\right)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}f^{k-1}(x)=0 \\ f^{k-1}(x)=3\end{array}\right.$
Mà $f(x)=3$ có 3 nghiệm phân biệt đều thuộc khoảng $(0 ; 4), f(x)=a$ với a thuộc $(0 ; 4)$ cũng có 3 nghiệm phân biệt.
Đặt $u_k$ là số nghiệm của phương trình $f^k(x)=0$. Có $u_1=2$
Đặt $v_k$ là số nghiệm của phương trình $f^k(x)=3$. Có: $v_1=3 ; v_2=9 ; \ldots ; v_k=3^k$
Ta có: $u_k=u_{k-1}+v_{k-1}=2+3+3^2+\ldots+3^{k-1}=1+1+3+3^2+\ldots+3^{k-1}=\dfrac{3^k+1}{2}$
Vậy $u_6=\dfrac{3^6+1}{2}=365$.
Đáp án A.
