Cho hàm số $f(x)=x^3+3x+4$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của...

Xét hàm số $f(x)=x^3+3x+4$ có. Do đó, $f\left(x\right)$ đồng biến trên.
Xét phương trình: $f\left(\sqrt[3]{f^3(x)+3f(x)+m}\right)+x^3+3x=4$
$\iff {\left[\sqrt[3]{f^3(x)+3f(x)+m}\right]}^3+3\left(\sqrt[3]{f^3(x)+3f(x)+m}\right)+4={(-x)}^3+3(-x)+4$
$\iff f\left(\sqrt[3]{f^3(x)+3f(x)+m}\right)=f(-x)$
$\iff \sqrt[3]{f^3(x)+3f(x)+m}=-x$
$\iff f^3(x)+3f(x)+m=-x^3$
$\iff f^3(x)+3f(x)+x^3=-m$ (*)
Đặt $g(x)=f^3(x)+3f(x)+x^3$. Ta có:
$g(-2)=f^3(-2)+3f(-2)+{(-2)}^3=-1038;g(3)=f^3(3)+3f(3)+3^3=64147$.
Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình (*) có nghiệm thuộc đoạn $[-2;3]$ khi và chỉ khi
$-1038\le -m\le 64147\iff -64147\le m\le 1038$.
Vì $m\in [-2020;2020]$ nên có $1038-(-2020)+1=3059$ giá trị nguyên của m thỏa đề.