Cho hàm số $f(x)={{x}^{3}}+3x+4$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của...

Xét hàm số $f(x)={{x}^{3}}+3x+4$ có. Do đó, $f\left( x \right)$ đồng biến trên.
Xét phương trình: $f\left( \sqrt[3]{{{f}^{3}}(x)+3f(x)+m} \right)+{{x}^{3}}+3x=4$
$\Leftrightarrow {{\left[ \sqrt[3]{{{f}^{3}}(x)+3f(x)+m} \right]}^{3}}+3\left( \sqrt[3]{{{f}^{3}}(x)+3f(x)+m} \right)+4={{\left( -x \right)}^{3}}+3\left( -x \right)+4$
$\Leftrightarrow f\left( \sqrt[3]{{{f}^{3}}(x)+3f(x)+m} \right)=f\left( -x \right)$
$\Leftrightarrow \sqrt[3]{{{f}^{3}}(x)+3f(x)+m}=-x$
$\Leftrightarrow {{f}^{3}}(x)+3f(x)+m=-{{x}^{3}}$
$\Leftrightarrow {{f}^{3}}(x)+3f(x)+{{x}^{3}}=-m$ (*)
Đặt $g(x)={{f}^{3}}(x)+3f(x)+{{x}^{3}}$. Ta có:
$g(-2)={{f}^{3}}(-2)+3f(-2)+{{\left( -2 \right)}^{3}}=-1038;g(3)={{f}^{3}}(3)+3f(3)+{{3}^{3}}=64147$.
Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình (*) có nghiệm thuộc đoạn $\left[ -2;3 \right]$ khi và chỉ khi
$-1038\le -m\le 64147\Leftrightarrow -64147\le m\le 1038$.
Vì $m\in \left[ -2020;2020 \right]$ nên có $1038-\left( -2020 \right)+1=3059$ giá trị nguyên của m thỏa đề.