Cho hàm số $f(x)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1$ và $g(x)=f\left( \left|...

Ta có: và
Suy ra
(*)
Mặt khác, nên các điểm là các điểm cực trị của .
Để hai điểm là hai điểm cực trị của hàm số thì hai giá trị đó phải là nghiệm của hệ phương trình: .
- Với thì suy ra , tới đây ta nhận thấy hệ phương trình trên không có nghiệm nên ta loại
- Với thì suy ra , tới đây ta nhận thấy hệ phương trình kia không có nghiệm nên ta loại
- Với thì suy ra . Do hệ phương trình này có hai nghiệm nên hệ phương trình tương đương với (dựa vào đồ thị hình bên)

Suy ra . Do là nghiệm bội chẵn nên là 6 nghiệm bội lẻ.
Như vậy hệ phương trình (*) có tổng cộng 11 nghiệm tương đương với hàm số có 11 điểm cực trị thỏa đề bài.