Cho hàm số $f (x)$ và $g (x)$ liên tục, có đạo hàm trên ℝ và thỏa...

The Knowledge · 16/1/22

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x)

và

g (x)

liên tục, có đạo hàm trên ℝ và thỏa mãn

f^{'} (0) . f^{'} (2) \neq 0

và

g (x) f^{'} (x) = x (x - 2) e^{x}

. Tính giá trị của tích phân

I = \int_{0}^{2} f (x) . g^{'} (x) d x

.
A.

- 4

B.

e - 2

C. 4
D.

2 - e

HD: Ta có:

g (x) f^{'} (x) = x (x - 2) e^{x} \Rightarrow {\begin{aligned} g (2) . f^{'} (2) = 0 \\ g (0) . f^{'} (0) = 0 \end{aligned}

Mặt khác

f^{'} (0) . f^{'} (2) \neq 0 \Rightarrow g (2) = g (0) = 0

.
Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có:

I = \int_{0}^{2} f (x) . g^{'} (x) d x = {f (x) . g (x) |}_{0}^{2} - \int_{0}^{2} f^{'} (x) . g (x) d x

Do

g (2) = g (0) = 0 \Rightarrow {f (x) . g (x) |}_{0}^{2} = 0

, sử dụng máy tính ta có:

\int_{0}^{2} f^{'} (x) . g (x) d x = \int_{0}^{2} x (x - 2) e^{x} d x = - 4 \Rightarrow I = 4

.

Đáp án C.

Cho hàm số f(x) và g(x) liên tục, có đạo hàm trên ℝ và thỏa...