Cho hàm số $f (x)$ thỏa mãn $\sqrt{x \cdot f^{\prime}(x)}=-f(x)...

The Funny · 17/6/23

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x)

thỏa mãn

\sqrt{x \cdot f^{'} (x)} = - f (x), \forall x \geq 1

và

f (e) = - \frac{1}{2}

. Giá trị

f (e^{2020})

bằng
A. -2021 .
B.

- \frac{1}{2020}

.
C. -2020 .
D.

- \frac{1}{2021}

.

- Ta có:

\sqrt{x . f^{'} (x)} = - f (x), \forall x \geq 1 \Leftrightarrow {\begin{cases} f (x) \leq 0 \\ x . f^{'} (x) = f^{2} (x) \end{cases}, \forall x \geq 1

\Rightarrow \frac{f^{'} (x)}{f^{2} (x)} = \frac{1}{x} \Rightarrow \int \frac{f^{'} (x)}{f^{2} (x)} d x = \int \frac{1}{x} d x \Rightarrow - \frac{1}{f (x)} = \ln x + C, \forall x \geq 1

.
Lại do:

f (e) = - \frac{1}{2} \Rightarrow C = 1 \Rightarrow f (x) = - \frac{1}{1 + \ln x}

(thỏa mãn điều kiện

f (x) \leq 0, \forall x \geq 1

).
Vậy

f (e^{2020}) = - \frac{1}{2021}

.

Đáp án D.

Cho hàm số f(x) thỏa mãn $\sqrt{x \cdot f^{\prime}(x)}=-f(x)...