Cho hàm số $f(x)=m x^4+(m+8) x^2+1$ với $m$ là tham số thực Trên...

${f}'(x)=4m{{x}^{3}}+2\left( m+8 \right)x=2x\left[ 2m{{x}^{2}}+m+8 \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& 2m{{x}^{2}}=-m-8 \\
\end{aligned} \right.$.
 Nếu ${{x}^{2}}=\dfrac{-m-8}{2m}\le 0\Leftrightarrow m\left( m+8 \right)\ge 0\Leftrightarrow m\in \left( -\infty ;-8 \right]\cup \left[ 0;+\infty \right)$ thì hàm số sẽ đạt giá trị lớn nhất trên đoạn ${[0; 2]}$ tại điểm $x=0$ hoặc $x=2$. Loại.
 Nếu ${{x}^{2}}=\dfrac{-m-8}{2m}>0\Leftrightarrow m\in \left( -8;0 \right)$ thì ta có ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-\sqrt{\dfrac{-m-8}{2m}} \\
& x=0 \\
& x=\sqrt{\dfrac{-m-8}{2m}} \\
\end{aligned} \right.$.
Do giá trị lớn nhất của hàm số bằng $f(1)$ suy ra $\dfrac{-m-8}{2m}=1\Leftrightarrow m=-\dfrac{8}{3}$.
Khi đó $f(x)=m{{x}^{4}}+(m+8){{x}^{2}}+1=-\dfrac{8}{3}{{x}^{4}}+\dfrac{16}{3}{{x}^{2}}+1$
$\Rightarrow {f}'\left( x \right)=-\dfrac{32}{3}{{x}^{3}}+\dfrac{32}{3}x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\pm 1 \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra $f\left( 0 \right)=1;f\left( 1 \right)=\dfrac{11}{3};f\left( 2 \right)=-\dfrac{61}{3}$.
Suy ra $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=-\dfrac{61}{3}$.