Cho hàm số ƒ(x) liên tục trên $R$ và thoả mãn...

The Knowledge · 14/1/22

Câu hỏi: Cho hàm số ƒ(x) liên tục trên

R

và thoả mãn

\int \frac{f (\sqrt{x + 1})}{\sqrt{x + 1}} d x = \frac{2 (\sqrt{x + 1} + 3)}{x + 5} + C .

Nguyên hàm của hàm số ƒ(2x) trên tập

R^{+}

là
A.

\frac{x + 3}{2 (x^{2} + 4)} + C .

B.

\frac{x + 3}{x^{2} + 4} + C .

C.

\frac{2 x + 3}{4 (x^{2} + 1)} + C .

D.

\frac{2 x + 3}{8 (x^{2} + 1)} + C .

Đặt

t = \sqrt{x + 1} \Rightarrow t^{2} = x + 1 \Rightarrow d x = 2 t d t

Khi đó giả thiết

\Leftrightarrow \int \frac{f (t) .2 t d t}{t} = \frac{2 (t + 3)}{t^{2} + 4} + C \Rightarrow 2 \int f (t) d t = \frac{2 (t + 3)}{t^{2} + 4} + C

\int f (t) d t = \frac{t + 3}{t^{2} + 4} + C \overset{t = 2 x}{\to} \int f (2 x) d (2 x) = \frac{2 x + 3}{4 x^{2} + 4} + C

\Rightarrow \int f (2 x) d x = \frac{2 x + 3}{8 (x^{2} + 1)} + C .

Đáp án D.

Cho hàm số ƒ(x) liên tục trên R và thoả mãn...