Google
Câu hỏi: Cho hàm số ƒ(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ và thoả mãn $\int{\dfrac{f\left( \sqrt{x+1} \right)}{\sqrt{x+1}}dx=\dfrac{2\left( \sqrt{x+1}+3 \right)}{x+5}+C.}$ Nguyên hàm của hàm số ƒ(2x) trên tập ${{\mathbb{R}}^{+}}$ là
A. $\dfrac{x+3}{2\left( {{x}^{2}}+4 \right)}+C.$
B. $\dfrac{x+3}{{{x}^{2}}+4}+C.$
C. $\dfrac{2x+3}{4\left( {{x}^{2}}+1 \right)}+C.$
D. $\dfrac{2x+3}{8\left( {{x}^{2}}+1 \right)}+C.$
A. $\dfrac{x+3}{2\left( {{x}^{2}}+4 \right)}+C.$
B. $\dfrac{x+3}{{{x}^{2}}+4}+C.$
C. $\dfrac{2x+3}{4\left( {{x}^{2}}+1 \right)}+C.$
D. $\dfrac{2x+3}{8\left( {{x}^{2}}+1 \right)}+C.$
Đặt $t=\sqrt{x+1}\Rightarrow {{t}^{2}}=x+1\Rightarrow d\text{x}=2tdt$
Khi đó giả thiết $\Leftrightarrow \int{\dfrac{f\left( t \right).2tdt}{t}=\dfrac{2\left( t+3 \right)}{{{t}^{2}}+4}+C\Rightarrow 2\int{f\left( t \right)dt}=\dfrac{2\left( t+3 \right)}{{{t}^{2}}+4}+C}$
$\int{f\left( t \right)dt}=\dfrac{t+3}{{{t}^{2}}+4}+C\xrightarrow{t=2x}\int{f\left( 2x \right)d\left( 2x \right)=\dfrac{2x+3}{4{{x}^{2}}+4}+C}$
$\Rightarrow \int{f\left( 2x \right)dx=\dfrac{2x+3}{8\left( {{x}^{2}}+1 \right)}+C.}$
Khi đó giả thiết $\Leftrightarrow \int{\dfrac{f\left( t \right).2tdt}{t}=\dfrac{2\left( t+3 \right)}{{{t}^{2}}+4}+C\Rightarrow 2\int{f\left( t \right)dt}=\dfrac{2\left( t+3 \right)}{{{t}^{2}}+4}+C}$
$\int{f\left( t \right)dt}=\dfrac{t+3}{{{t}^{2}}+4}+C\xrightarrow{t=2x}\int{f\left( 2x \right)d\left( 2x \right)=\dfrac{2x+3}{4{{x}^{2}}+4}+C}$
$\Rightarrow \int{f\left( 2x \right)dx=\dfrac{2x+3}{8\left( {{x}^{2}}+1 \right)}+C.}$
Đáp án D.