Google
Câu hỏi: Cho hàm số ${f(x)}$ liên tục trên ${\mathbb{R}}$ và ${f(4)=2}$, ${\int\limits_0^4f(x)\mathrm{d}x=4}$. Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{2}{x}\cdot {f}'\left( 2x \right)\text{d}x.$
A. ${I=1}$.
B. ${I=12}$.
C. ${I=4}$.
D. ${I=17}$.
A. ${I=1}$.
B. ${I=12}$.
C. ${I=4}$.
D. ${I=17}$.
Đặt ${t=2x}$, suy ra ${\mathrm{ d}x=\dfrac{\mathrm{ d}t}{2}}$, với ${x=0}$ thì ${t=0}$ ; với ${x=2}$ thì ${t=4}$. Do đó ta có
$I=\int\limits_{0}^{4}{\dfrac{t}{2}}\cdot {f}'(t)\dfrac{\text{d}t}{2}=$ $\dfrac{1}{4}\int\limits_{0}^{4}{x}{f}'(x)\text{d}x=\dfrac{1}{4}\left[ xf(x)|_{0}^{4}-\int\limits_{0}^{4}{f}(x)\text{d}x \right]=f(4)-\dfrac{1}{4}\cdot 4=1.$
$I=\int\limits_{0}^{4}{\dfrac{t}{2}}\cdot {f}'(t)\dfrac{\text{d}t}{2}=$ $\dfrac{1}{4}\int\limits_{0}^{4}{x}{f}'(x)\text{d}x=\dfrac{1}{4}\left[ xf(x)|_{0}^{4}-\int\limits_{0}^{4}{f}(x)\text{d}x \right]=f(4)-\dfrac{1}{4}\cdot 4=1.$
Đáp án A.