Google
Câu hỏi: Cho hàm số f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\int\limits_{1}^{9}{\dfrac{f\left( \sqrt{x} \right)}{\sqrt{x}}dx}=4$ và $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( \sin x \right)\cos xdx}=2$. Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)dx}$.
A. $I=2.$
B. $I=6.$
C. $I=10.$
D. $I=4.$
A. $I=2.$
B. $I=6.$
C. $I=10.$
D. $I=4.$
Đặt $t=\sqrt{x}\Rightarrow dt=\dfrac{d\text{x}}{2\sqrt{x}}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=1,t=1 \\
& x=9,t=3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \int\limits_{1}^{9}{\dfrac{f\left( \sqrt{x} \right)}{\sqrt{x}}d\text{x}}=2\int\limits_{1}^{3}{f\left( t \right)dt}=4\Rightarrow \int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)d\text{x}}=2$.
Đặt $t=\sin x\Rightarrow dt=\cos xdx\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=0,t=0 \\
& x=\dfrac{\pi }{2},t=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( \sin x \right)\cos xdx}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right)dt}=2\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=2$.
Suy ra $I=\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)d\text{x}}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)d\text{x}}+\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)d\text{x}}=4$.
& x=1,t=1 \\
& x=9,t=3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \int\limits_{1}^{9}{\dfrac{f\left( \sqrt{x} \right)}{\sqrt{x}}d\text{x}}=2\int\limits_{1}^{3}{f\left( t \right)dt}=4\Rightarrow \int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)d\text{x}}=2$.
Đặt $t=\sin x\Rightarrow dt=\cos xdx\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=0,t=0 \\
& x=\dfrac{\pi }{2},t=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( \sin x \right)\cos xdx}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right)dt}=2\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=2$.
Suy ra $I=\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)d\text{x}}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)d\text{x}}+\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)d\text{x}}=4$.
Đáp án D.