Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $F(x),G(x)$ là hai nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F(10)+G(1)=-11$ và $F(0)+G(10)=1$. Khi đó, $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\cos 2x.f(\sin 2x)dx}$ bằng
A. $5$.
B. $10$.
C. $-12$.
D. $-6$.
A. $5$.
B. $10$.
C. $-12$.
D. $-6$.
Vì $F(x),G(x)$ là hai nguyên hàm của $f(x)$ nên ta có $F(x)=G(x)+C$
Theo đề $\left\{ \begin{aligned}
& F(10)+G(1)=-11 \\
& F(0)+G(10)=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& G(10)+C+G(1)=-11 \\
& G(0)+C+G(10)=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow G\left( 1 \right)-G\left( 0 \right)=-12$
Xét $I=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\cos 2x.f(\sin 2x)dx}$.
Đặt $t=\sin 2x\Rightarrow \dfrac{1}{2}\text{d}t=\text{cos2}x\text{d}x$, đổi cận $\left\{ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow t=0 \\
& x=\dfrac{\pi }{4}\Rightarrow t=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó $I=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{f(t)dt=}\dfrac{1}{2}\left. \left[ G\left( t \right) \right] \right|_{0}^{1}=\dfrac{1}{2}\left[ G\left( 1 \right)-G\left( 0 \right) \right]=-6.$.
Theo đề $\left\{ \begin{aligned}
& F(10)+G(1)=-11 \\
& F(0)+G(10)=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& G(10)+C+G(1)=-11 \\
& G(0)+C+G(10)=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow G\left( 1 \right)-G\left( 0 \right)=-12$
Xét $I=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\cos 2x.f(\sin 2x)dx}$.
Đặt $t=\sin 2x\Rightarrow \dfrac{1}{2}\text{d}t=\text{cos2}x\text{d}x$, đổi cận $\left\{ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow t=0 \\
& x=\dfrac{\pi }{4}\Rightarrow t=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó $I=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{f(t)dt=}\dfrac{1}{2}\left. \left[ G\left( t \right) \right] \right|_{0}^{1}=\dfrac{1}{2}\left[ G\left( 1 \right)-G\left( 0 \right) \right]=-6.$.
Đáp án D.