Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\left[ -1; 2 \right]$ và thỏa mãn điều kiện $f(x)=\sqrt{x+2}+xf\left(3-{{x}^{2}} \right)$. Tính tích phân $I=\int\limits_{-1}^{2}{f(x)dx}$.
A. $I=\dfrac{14}{3}$.
B. $I=\dfrac{28}{3}$.
C. $I=\dfrac{4}{3}$.
D. $I=2$.
A. $I=\dfrac{14}{3}$.
B. $I=\dfrac{28}{3}$.
C. $I=\dfrac{4}{3}$.
D. $I=2$.
Tính $J=\int\limits_{-1}^{2}{xf\left( 3-{{x}^{2}} \right)dx}$
Đặt $t=3-{{x}^{2}}\Rightarrow dt=-2xdx\Leftrightarrow xdx=-\dfrac{dt}{2}$
Đổi cận
$J=-\dfrac{1}{2}\int\limits_{2}^{-1}{f\left( t \right)dt}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{-1}^{2}{f\left( t \right)dt}=\dfrac{I}{2}$
Theo đề bài ta có
$\begin{aligned}
& I=\int\limits_{-1}^{2}{f(x)dx}=\int\limits_{-1}^{2}{\sqrt{x+2}dx}+\int\limits_{-1}^{2}{xf\left( 3-{{x}^{2}} \right)dx} \\
& \Leftrightarrow I=\dfrac{14}{3}+\dfrac{I}{2}\Leftrightarrow \dfrac{I}{2}=\dfrac{14}{3}\Leftrightarrow I=\dfrac{28}{3} \\
\end{aligned}$
Đặt $t=3-{{x}^{2}}\Rightarrow dt=-2xdx\Leftrightarrow xdx=-\dfrac{dt}{2}$
Đổi cận
$J=-\dfrac{1}{2}\int\limits_{2}^{-1}{f\left( t \right)dt}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{-1}^{2}{f\left( t \right)dt}=\dfrac{I}{2}$
Theo đề bài ta có
$\begin{aligned}
& I=\int\limits_{-1}^{2}{f(x)dx}=\int\limits_{-1}^{2}{\sqrt{x+2}dx}+\int\limits_{-1}^{2}{xf\left( 3-{{x}^{2}} \right)dx} \\
& \Leftrightarrow I=\dfrac{14}{3}+\dfrac{I}{2}\Leftrightarrow \dfrac{I}{2}=\dfrac{14}{3}\Leftrightarrow I=\dfrac{28}{3} \\
\end{aligned}$
Đáp án B.