. Cho hàm số f(x) liên tục trên $[0; 1] .$ Biết...

The Knowledge · 19/12/21

Câu hỏi: . Cho hàm số f(x) liên tục trên

[0; 1] .

Biết

\int_{0}^{1} [x . f^{'} (1 - x) - f (x)] d x = \frac{1}{2},

tính

f (0) .

A.

f (0) = - 1.

B.

f (0) = \frac{1}{2} .

C.

f (0) = - \frac{1}{2} .

D.

f (0) = 1.

Ta có:

I = \int_{0}^{1} [x . f^{'} (1 - x) - f (x)] d x = \int_{0}^{1} x . f^{'} (1 - x) d x - \int_{0}^{1} f (x) d x

Đặt

t = 1 - x \Rightarrow d t = - d x .

Đổi cận

| \begin{aligned} x = 0 \Rightarrow t = 1 \\ x = 1 \Rightarrow t = 0 \end{aligned}

, ta có

\int_{0}^{1} x . f^{'} (1 - x) d x = \int_{1}^{0} (1 - t) f^{'} (t) (- d t)

= \int_{0}^{1} (1 - x) f^{'} (x) d x

Đặt

{\begin{aligned} u = 1 - x \\ d v = f^{'} (x) d x \end{aligned} \Rightarrow {\begin{aligned} d u = - d x \\ v = f (x) \end{aligned}

ta có:

\int_{0}^{1} (1 - x) f^{'} (x) d x = (1 - x) f (x) |_{\begin{matrix} 0 \end{matrix}}^{\begin{matrix} 1 \end{matrix}} + \int_{0}^{1} f (x) d x = - f (0) + \int_{0}^{1} f (x) d x

Suy ra

I = - f (0) \Rightarrow f (0) = - \frac{1}{2} .

Đáp án C.

. Cho hàm số f(x) liên tục trên [0;1]. Biết...