Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng $(0; + \infty)$ ...

The Knowledge · 21/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng

(0; + \infty)

thỏa mãn

f (1) = 1

và

f^{'} (x) \geq x + \frac{1}{x}, \forall x \in (0; + \infty)

. Tìm giá trị nhỏ nhất của

f (2)

.
A. 3.
B. 2.
C.

\frac{5}{2} + \ln 2.

D. 4.

Từ

f^{'} (x) \geq x + \frac{1}{x}, \forall x \in (0; + \infty) \Rightarrow \underset{1}{\int^{2}} f^{'} (x) d x \geq \underset{1}{\int^{2}} (x + \frac{1}{x}) d x

\Rightarrow f (x) |_{\begin{matrix} 1 \end{matrix}}^{\begin{matrix} 2 \end{matrix}} \geq (\frac{x^{2}}{2} + \ln | x |) |_{\begin{matrix} 1 \end{matrix}}^{\begin{matrix} 2 \end{matrix}} \Rightarrow f (2) - f (1) \geq \frac{3}{2} + \ln 2 \Rightarrow f (2) \geq \frac{5}{2} + 1

Dấu "=" xảy ra

\Leftrightarrow f^{'} (x) = x + \frac{1}{x} (x > 0)

nên

f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \ln x + C .

Mà

f (1) = 1 \Rightarrow \frac{1}{2} + C = 1 \Rightarrow C = \frac{1}{2} \Rightarrow f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \ln x + \frac{1}{2} .

Vậy giá trị nhỏ nhất của

f (2)

bằng

\frac{5}{2} + \ln 2,

đạt được khi

f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \ln x + \frac{1}{2} .

Đáp án C.

Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng (0;+∞)...