Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$...

Từ ${f}'\left( x \right)\ge x+\dfrac{1}{x},\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Rightarrow \underset{1}{\overset{2}{\mathop \int }} {f}'\left( x \right)dx\ge \underset{1}{\overset{2}{\mathop \int }} \left( x+\dfrac{1}{x} \right)dx$
$\Rightarrow f\left( x \right)\left| _{\begin{smallmatrix}
\\
1
\end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix}
2 \\

\end{smallmatrix}} \right.\ge \left( \dfrac{{{x}^{2}}}{2}+\ln \left| x \right| \right)\left| _{\begin{smallmatrix}
\\
1
\end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix}
2 \\

\end{smallmatrix}} \right.\Rightarrow f\left( 2 \right)-f\left( 1 \right)\ge \dfrac{3}{2}+\ln 2\Rightarrow f\left( 2 \right)\ge \dfrac{5}{2}+1$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=x+\dfrac{1}{x}\!\!~\!\!(x>0)$ nên $f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+\ln x+C.$
Mà $f\left( 1 \right)=1\Rightarrow \dfrac{1}{2}+C=1\Rightarrow C=\dfrac{1}{2}\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+\ln x+\dfrac{1}{2}.$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $f\left( 2 \right)$ bằng $\dfrac{5}{2}+\ln 2,$ đạt được khi $f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+\ln x+\dfrac{1}{2}.$