cho hàm số $f (x)$ liên tục trên [0;1] và...

The Knowledge · 13/1/22

Câu hỏi: cho hàm số

f (x)

liên tục trên [0;1] và

f (x) + f (1 - x) = \frac{x^{2} + 2 x + 3}{x + 1}, \forall x \in [0; 1]

. Tính

\int_{0}^{1} f (x) d x

A.

\frac{3}{4} + 2 \ln 2

B.

3 + \ln 2

C.

\frac{3}{4} + \ln 2

D.

\frac{3}{2} + 2 \ln 2

Lấy tích phân cận từ

0 \to 1

hai vế giả thiết, ta được

\int_{0}^{1} f (x) d x + \int_{0}^{1} f (1 - x) d x = \int_{0}^{1} \frac{x^{2} + 2 x + 3}{x + 1} d x

Lại có:

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (a + b - x) d x \Rightarrow \int_{0}^{1} f (x) d x = \int_{0}^{1} f (1 - x) d x

Do đó:

\int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (x + 1 + \frac{2}{x + 1}) d x = \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + x + 2 \ln | x + 1 |) | \begin{aligned} 1 \\ 0 \end{aligned} = \frac{3}{4} + \ln 2

.

Đáp án C.

cho hàm số f(x) liên tục trên [0;1] và...