Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)=\left( {{m}^{3}}-1 \right){{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3\left( m-2 \right)x+4.$ Biết $f(x)\le 0$ với $\forall x\in \left[ 3;5 \right].$ Khi đó có tất cả bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn $\left[ -100;100 \right]?$
A. 100.
B. 101.
C. 99.
D. 201.
A. 100.
B. 101.
C. 99.
D. 201.
Ta có: $f\left( x \right)\le 0$ với $\forall x\in \left[ 3;5 \right].$
$\Leftrightarrow \left( {{m}^{3}}-1 \right){{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3\left( m-2 \right)x+4\le 0,\forall x\in \left[ 3;5 \right].$
$\Leftrightarrow {{\left( mx \right)}^{3}}+3mx\le {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+6x-4,\forall x\in \left[ 3;5 \right].$
$\Leftrightarrow {{\left( mx \right)}^{3}}+3mx\le {{\left( x-1 \right)}^{3}}+3\left( x-1 \right),\forall x\in \left[ 3;5 \right].$
$\Leftrightarrow g\left( mx \right)\le g\left( x-1 \right)$ với $g\left( t \right)={{t}^{3}}+3t$ là hàm số đồng biến.
$\Leftrightarrow mx\le x-1,\forall x\in \left[ 3;5 \right]\Leftrightarrow m\le \dfrac{x-1}{x}=1-\dfrac{1}{x}=h\left( x \right),\forall x\in \left[ 3;5 \right]\Leftrightarrow m\le \underset{\left[ 3;5 \right]}{\mathop{\min }} h\left( x \right).$
Ta có ${h}'\left( x \right)=\dfrac{1}{{{x}^{2}}}>0,\forall x\in \left[ 3;5 \right],$ suy ra $h\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ 3;5 \right]\Rightarrow \underset{\left[ 3;5 \right]}{\mathop{\min }} h\left( x \right)=h\left( 3 \right)=\dfrac{2}{3}.$
Vậy $m\le \dfrac{2}{3}\xrightarrow[m\in \mathbb{Z}]{m\in \left[ -100;100 \right]}m:-100\to 0,$ nghĩa là có 101 số nguyên m.
$\Leftrightarrow \left( {{m}^{3}}-1 \right){{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3\left( m-2 \right)x+4\le 0,\forall x\in \left[ 3;5 \right].$
$\Leftrightarrow {{\left( mx \right)}^{3}}+3mx\le {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+6x-4,\forall x\in \left[ 3;5 \right].$
$\Leftrightarrow {{\left( mx \right)}^{3}}+3mx\le {{\left( x-1 \right)}^{3}}+3\left( x-1 \right),\forall x\in \left[ 3;5 \right].$
$\Leftrightarrow g\left( mx \right)\le g\left( x-1 \right)$ với $g\left( t \right)={{t}^{3}}+3t$ là hàm số đồng biến.
$\Leftrightarrow mx\le x-1,\forall x\in \left[ 3;5 \right]\Leftrightarrow m\le \dfrac{x-1}{x}=1-\dfrac{1}{x}=h\left( x \right),\forall x\in \left[ 3;5 \right]\Leftrightarrow m\le \underset{\left[ 3;5 \right]}{\mathop{\min }} h\left( x \right).$
Ta có ${h}'\left( x \right)=\dfrac{1}{{{x}^{2}}}>0,\forall x\in \left[ 3;5 \right],$ suy ra $h\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ 3;5 \right]\Rightarrow \underset{\left[ 3;5 \right]}{\mathop{\min }} h\left( x \right)=h\left( 3 \right)=\dfrac{2}{3}.$
Vậy $m\le \dfrac{2}{3}\xrightarrow[m\in \mathbb{Z}]{m\in \left[ -100;100 \right]}m:-100\to 0,$ nghĩa là có 101 số nguyên m.
Đáp án B.