Cho hàm số $f(x)=\left( {{m}^{3}}-1...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x) = (m^{3} - 1) x^{3} + 3 x^{2} + 3 (m - 2) x + 4.

Biết

f (x) \leq 0

với

\forall x \in [3; 5] .

Khi đó có tất cả bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn

[- 100; 100] ?

A. 100.
B. 101.
C. 99.
D. 201.

Ta có:

f (x) \leq 0

với

\forall x \in [3; 5] .

\Leftrightarrow (m^{3} - 1) x^{3} + 3 x^{2} + 3 (m - 2) x + 4 \leq 0, \forall x \in [3; 5] .

\Leftrightarrow {(m x)}^{3} + 3 m x \leq x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 4, \forall x \in [3; 5] .

\Leftrightarrow {(m x)}^{3} + 3 m x \leq {(x - 1)}^{3} + 3 (x - 1), \forall x \in [3; 5] .

\Leftrightarrow g (m x) \leq g (x - 1)

với

g (t) = t^{3} + 3 t

là hàm số đồng biến.

\Leftrightarrow m x \leq x - 1, \forall x \in [3; 5] \Leftrightarrow m \leq \frac{x - 1}{x} = 1 - \frac{1}{x} = h (x), \forall x \in [3; 5] \Leftrightarrow m \leq min_{[3; 5]} h (x) .

Ta có

h^{'} (x) = \frac{1}{x^{2}} > 0, \forall x \in [3; 5],

suy ra

h (x)

đồng biến trên

[3; 5] \Rightarrow min_{[3; 5]} h (x) = h (3) = \frac{2}{3} .

Vậy

m \leq \frac{2}{3} \to_{m \in Z}^{m \in [- 100; 100]} m : - 100 \to 0,

nghĩa là có 101 số nguyên m.

Đáp án B.