Cho hàm số ${{f}({x})=\left\{\begin{array}{l}2 {x}-1 \text { khi }...

Tập xác định: ${{D}=\mathbb{R}}$.
Với ${{x}>1}$ hay ${{x}<1}$ thì hàm số ${{f}({x})}$ là hàm đa thức nên liên tục.
Mặt khác: ${\lim _{{x} \rightarrow 1^-} {f}({x})=\lim _{{x} \rightarrow 1^1}\left(3 {x}^2-2\right)=1 ; \lim _{{x} \rightarrow 1^+} {f}({x})=\lim _{{x} \rightarrow 1^+}(2 {x}-1)=1}$.
Ta có: ${\lim _{{x} \rightarrow 1^-} {f}({x})=\lim _{{x} \rightarrow 1^+} {f}({x})={f}(1)=1}$ nên hàmsố ${{f}({x})}$ liên tục tại điểm ${{x}=1}$.
Suy ra hàm số ${{f}({x})}$ liên tục trên ${\mathbb{R}}$.
Với ${x \geq 1}$ thì ${\int {f}({x}) {dx}=\int(2 {x}-1) {dx}={x}^2-{x}+{C}_1}$
Với ${{x}<1}$ thì ${\int {f}({x}) {dx}=\int\left(3 {x}^2-2\right) {dx}={x}^3-2 {x}+{C}_2}$
Mà ${{F}(0)=2}$ nên ${{C}_2=2}$.
Khi đó ${F(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2-x+C_1 & \text { khi } x \geq 1 \\ x^3-2 x+2 & \text { khi } x<1\end{array}\right.}$
Đồng thời ${{F}({x})}$ cũng liên tục trên ${\mathbb{R}}$ nên: ${\lim _{{x} \rightarrow 1^-} {F}({x})=\lim _{{x} \rightarrow 1^+} {F}({x})={F}(1)=1 \Leftrightarrow {C}_1=1}$ Do đó ${F(x)=\left\{\begin{array}{l}x^2-x+1 \quad \text { khi } x \geq 1 \\ x^3-2 x+2 \text { khi } x<1\end{array}\right.}$
Do đó $F(x)=\left\{ \begin{matrix}
{{x}^{2}}-x+1\!\!~\!\! \text{khi }\!\!~\!\!x\ge 1 \\
{{x}^{3}}-2x+2 \!\!~\!\!\text{ khi }\!\!~\!\!x<1 \\
\end{matrix} \right.$
Vậy: ${{F}(-1)+2 {~F}(2)=3+2.3=9}$.