Cho hàm số $f(x)=\left\{ \begin{aligned} & {{x}^{2}}+1 khi...

The Funny · 27/5/23

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x) = {\begin{aligned} x^{2} + 1 k h i x \geq 0 \\ 2 x^{2} + 1 k h i x < 0 \end{aligned}

. Tích phân

\int_{\frac{1}{e}}^{e} \frac{f^{'} (\ln x) \ln x}{x} d x

bằng
A.

\frac{14}{3}

.
B.

- \frac{4}{3}

.
C.

- 4

.
D. 2.

Đặt

t = \ln x \Rightarrow d t = \frac{1}{x} d x; x = \frac{1}{e} \Rightarrow t = - 1; x = e \Rightarrow t = 1

\int_{\frac{1}{e}}^{e} \frac{f^{'} (\ln x) \ln x}{x} d x = \int_{- 1}^{1} f^{'} (t) . t d t = \int_{- 1}^{1} t d (f (t)) = {t f (t) |}_{- 1}^{1} - \int_{- 1}^{1} f (t) d t

= f (1) + f (- 1) - I = 2 + 3 - I = 5 - I

.
Ta có

I = \int_{- 1}^{1} f (t) d t = \int_{- 1}^{0} f (t) d t + \int_{0}^{1} f (t) d t = \int_{- 1}^{0} (2 t^{2} + 1) d t + \int_{0}^{1} (t^{2} + 1) d t = \frac{5}{3} + \frac{4}{3} = 3

.
Vậy

\int_{\frac{1}{e}}^{e} \frac{f^{'} (\ln x) \ln x}{x} d x = 5 - 3 = 2

.

Đáp án D.