Cho hàm số $f(x)=\left\{ \begin{aligned} & a{{x}^{2}}+bx+1,x\ge...

Ta có $f(0)=1$.
$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} f(x)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} (a{{x}^{2}}+bx+1)=1$
$\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} f(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} (ax-b-1)=-b-1$
Để hàm số có đạo hàm tại ${{x}_{0}}=0$ thì hàm số phải liên tục tại ${{x}_{0}}=0$ nên
$f(0)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} f(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} f(x)$. Suy ra $-b-1=1\Leftrightarrow b=-2$.
Khi đó: $f(x)=\left\{ \begin{aligned}
& a{{x}^{2}}-2x+1,x\ge 0 \\
& ax+1,x<0 \\
\end{aligned} \right.$
Xét: $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{a{{x}^{2}}-2x+1-1}{x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} (ax-2)=-2$
$\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{ax+1-1}{x}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} (a)=a$.
Hàm số có đạo hàm tại ${{x}_{0}}=0$ thì $a=-2$.
Vậy với $a=-2,\text{ b}=-2$ thì hàm số có đạo hàm tại ${{x}_{0}}=0$ khi đó $T=-6$.