Cho hàm số $f(x)=\left| 8{{x}^{4}}+a{{x}^{2}}+b \right|$, trong đó...

Theo giải thiết: $\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\text{max}}} f(x)=1$ nên $\left| 8{{x}^{4}}+a{{x}^{2}}+b \right|\le 1,\forall x\in \left[ -1;1 \right]$
Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& f(1)\le 1 \\
& f(0)\le 1 \\
& f\left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)\le 1 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| b \right|\le 1 \\
& \left| 8+a+b \right|\le 1 \\
& \left| 8.\dfrac{1}{4}+a.\dfrac{1}{2}+b \right|\le 1 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -1\le b\le 1 \\
& -1\le a+b+8\le 1 \\
& -2\le a+2b+4\le 2 \\
\end{aligned} \right.\ \ \ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -1\le b\le 1 \\
& -9\le a+b\le -7 \\
& -6\le a+2b\le -2 \\
\end{aligned} \right.(*)$
Từ $\left\{ \begin{aligned}
& a+b\le -7 \\
& a+2b\ge -6 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow b\ge 1 $, mặt khác $ b\le 1 $ nên $ b=1$
Thế $b=1$ vào (*) ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& -9\le a+1\le -7 \\
& -6\le a+2\le -2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -10\le a\le -8 \\
& -8\le a\le -4 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a=-8$.
Khi $a=-8,\ b=1$ $\Rightarrow y=8{{x}^{4}}-8{{x}^{2}}+1.$ Đặt $x=\cos \varphi $, với $\varphi \in \left[ 0;\pi \right]$ $\Rightarrow y=\cos \text{4}\varphi $.
Vậy $f(x)\le 1$ khi $\left| x \right|\le 1$.
Do đó $b-a=9$.