. Cho hàm số f(x) dương thỏa mãn $f (0) = e$ và...

The Knowledge · 19/12/21

Câu hỏi: . Cho hàm số f(x) dương thỏa mãn

f (0) = e

và

x^{2} f^{'} (x) = f (x) + f^{'} (x), \forall x \neq \pm 1.

Giá trị

f (\frac{1}{2})

là
A.

e^{\sqrt{3}} .

B.

e \sqrt{3} .

C.

e^{2} .

D.

\frac{e}{\sqrt{3}} .

Với

f (x) > 0, \forall x \neq \pm 1

, ta có

x^{2} f^{'} (x) = f (x) + f^{'} (x) \Leftrightarrow \frac{f^{'} (x)}{f (x)} = \frac{1}{x^{2} - 1}

.
Suy ra

\int \frac{f^{'} (x)}{f (x)} d x = \int \frac{d x}{x^{2} - 1} \Leftrightarrow \ln f (x) = \frac{1}{2} \ln | \frac{x - 1}{x + 1} | + C

.
Xét trên khoảng

(- 1; 1)

, ta có

\ln f (x) = \frac{1}{2} \ln \frac{1 - x}{x + 1} + C

.
Do

f (0) = e \Rightarrow C = 1

. Do đó

\ln f (x) = \frac{1}{2} \ln \frac{1 - x}{x + 1} + 1 \Leftrightarrow f (x) = e \sqrt{\frac{1 - x}{x + 1}} \Rightarrow f (\frac{1}{2}) = \frac{e}{\sqrt{3}}

.

Đáp án D.

. Cho hàm số f(x) dương thỏa mãn f(0)=e và...