Cho hàm số $f (x)$ có $f (0) = 0$ và ${f}'(x)=\sin x{{\sin...

The Professor · 29/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x)

có

f (0) = 0

và

f^{'} (x) = \sin x \sin^{2} 2 x, \forall x \in R

. Khi đó

\int_{0}^{π} f (x) d x

bằng
A.

\frac{7}{30} π

.
B.

\frac{- 7}{30} π

.
C. 0.
D.

\frac{8}{15} π

.

Ta có:

f^{'} (x) = \sin x \sin^{2} 2 x = \sin x . {(2 \sin x \cos x)}^{2} = 4 \sin x \sin^{2} x \cos^{2} x

= 4 \sin x (1 - \cos^{2} x) \cos^{2} x = 4 \sin x (\cos^{2} x - \cos^{4} x)

,

\forall x \in R

.
Suy ra:

\int f^{'} (x) d x = \int 4 \sin x (\cos^{2} x - \cos^{4} x) d x = - 4 \int (\cos^{2} x - \cos^{4} x) d (\cos x)

= - 4 (\frac{\cos^{3} x}{3} - \frac{\cos^{5} x}{5}) + C

= \frac{4}{5} \cos^{5} x - \frac{4}{3} \cos^{3} x + C

.
Do đó:

f (x) = \frac{4}{5} \cos^{5} x - \frac{4}{3} \cos^{3} x + C

,

\forall x \in R

.
Vì

f (0) = 0

nên

\frac{4}{5} \cos^{5} 0 - \frac{4}{3} \cos^{3} 0 + C = 0

, hay

C = \frac{8}{15}

.
Vậy

f (x) = \frac{4}{5} \cos^{5} x - \frac{4}{3} \cos^{3} x + \frac{8}{15}, \forall x \in R

.
Ta có:

\int_{0}^{π} f (x) d x = \int_{0}^{π} (\frac{4}{5} \cos^{5} x - \frac{4}{3} \cos^{3} x + \frac{8}{15}) d x = 4 \int_{0}^{π} \cos x (\frac{\cos^{4} x}{5} - \frac{\cos^{2} x}{3}) d x + \int_{0}^{π} \frac{8}{15} d x

= 4 \int_{0}^{π} \cos x (\frac{{(1 - \sin^{2} x)}^{2}}{5} - \frac{1 - \sin^{2} x}{3}) d x + (\frac{8}{15} x) |_{0}^{π} = 4 \int_{0}^{π} (\frac{\sin^{4} x}{5} - \frac{\sin^{2} x}{15} - \frac{2}{15}) \cos x d x + \frac{8 π}{15}

= 4 \int_{0}^{π} (\frac{\sin^{4} x}{5} - \frac{\sin^{2} x}{15} - \frac{2}{15}) d (\sin x) + \frac{8 π}{15} = 4 (\frac{\sin^{5} x}{25} - \frac{\sin^{3} x}{45} - \frac{2 \sin x}{15}) |_{0}^{π} + \frac{8 π}{15}

= \frac{8 π}{15}

.

Đáp án D.

Cho hàm số f(x) có f(0)=0 và ${f}'(x)=\sin x{{\sin...