Cho hàm số f(x) có đạo hàm xác định trên $R$ . Biết f(1)=2...

The Professor · 23/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số f(x) có đạo hàm xác định trên

R

. Biết f(1)=2 và

\int_{0}^{1} x^{2} f^{^{'}} (x) d x = \int_{1}^{4} \frac{1 + 3 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} f (2 - \sqrt{x}) d x = 4

, Giá trị của

\int_{0}^{1} f^{^{'}} (x) d x

bằng
A. 1.
B.

\frac{5}{7}

.
C.

\frac{3}{7}

.
D.

\frac{1}{7}

.

Ta có:

4 = \int_{0}^{1} x^{2} f^{^{'}} (x) d x = \int_{0}^{1} x^{2} d (f^{^{'}} (x)) = {(x^{2} f^{^{'}} (x)) |}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} 2 x f^{^{'}} (x) d x

\Leftrightarrow 4 = f (1) - 2 \int_{0}^{1} x f (x) d x \Leftrightarrow 4 = 2 - 2 \int_{0}^{1} x f (x) d x \Rightarrow \int_{0}^{1} x f (x) d x = - 1

Xét

\int_{1}^{4} \frac{1 + 3 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} f (2 - \sqrt{x}) d x

Đặt

t = 2 - \sqrt{x} \Rightarrow d t = - \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x

Với

x = 1 \Rightarrow t = 1

và

x = 4 \Rightarrow t = 0

.
Khi đó

4 = \int_{1}^{4} \frac{1 + 3 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} f (2 - \sqrt{x}) d x= - \int_{1}^{0} [1 + 3 (2 - t)] f (t) d t

\Leftrightarrow 4 = \int_{0}^{1} (7 - 3 t) f (t) d t \Leftrightarrow 4 = 7 \int_{0}^{1} f (t) d t - 3 \int_{0}^{1} t f (t) d t \Leftrightarrow 4 = 7 \int_{0}^{1} f (t) d t - 3 (- 1) \Leftrightarrow \int_{0}^{1} f (t) d t = \frac{1}{7}

Vậy

\int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{1}{7}

.

Đáp án D.

Cho hàm số f(x) có đạo hàm xác định trên R. Biết f(1)=2...