Cho hàm số f(x) có đạo hàm xác định trên $\mathbb{R}$. Biết f(1)=2...

Ta có: $4=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{{f}^{'}}(x)d\text{x}=}\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}d({{f}^{'}}(x))=}\left. ({{x}^{2}}{{f}^{'}}(x)) \right|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{2x{{f}^{'}}(x)d\text{x}}$
$\Leftrightarrow 4=f(1)-2\int\limits_{0}^{1}{xf(x)d\text{x}}\Leftrightarrow 4=2-2\int\limits_{0}^{1}{xf(x)d\text{x}}\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{xf(x)d\text{x}}=-1$
Xét $\int\limits_{1}^{4}{\dfrac{1+3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}}f(2-\sqrt{x})d\text{x}$
Đặt $t=2-\sqrt{x}\Rightarrow dt=-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}d\text{x}$
Với $x=1\Rightarrow t=1$ và $x=4\Rightarrow t=0$.
Khi đó $4=\int\limits_{1}^{4}{\dfrac{1+3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}}f(2-\sqrt{x})d\text{x= -}\int\limits_{1}^{0}{\left[ 1+3(2-t) \right]}f(t)dt$
$\Leftrightarrow 4=\int\limits_{0}^{1}{(7-3t)}f(t)dt\Leftrightarrow 4=7\int\limits_{0}^{1}{{}}f(t)dt-3\int\limits_{0}^{1}{t}f(t)dt\Leftrightarrow 4=7\int\limits_{0}^{1}{{}}f(t)dt-3(-1)\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{{}}f(t)dt=\dfrac{1}{7}$

Vậy $\int\limits_{0}^{1}{f(x)}dx=\dfrac{1}{7}$.