Google
Câu hỏi: . Cho hàm số f(x) có đạo hàm xác định, liên tục $\left[ 0;1 \right]$ đồng thời thỏa mãn các điều kiện ${f}'\left( 0 \right)=-1$ và ${{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}={f}''\left( x \right)$. Đặt $T=f\left( 1 \right)-f\left( 0 \right)$, hãy chọn khẳng định đúng?
A. $-2\le T<-1.$
B. $-1\le T<0.$
C. $0\le T<1.$
D. $1\le T<2.$
A. $-2\le T<-1.$
B. $-1\le T<0.$
C. $0\le T<1.$
D. $1\le T<2.$
Ta có: ${{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}={f}''\left( x \right)\Rightarrow \dfrac{{f}''\left( x \right)}{{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}}=1$
Lấy nguyên hàm 2 vế ta có: $\int{\dfrac{d\left[ {f}'\left( x \right) \right]}{{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}}}=\int{d\text{x}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{{f}'\left( x \right)}=x+C\Rightarrow {f}'\left( x \right)=\dfrac{-1}{x+C}$
Do ${f}'\left( 0 \right)=-1\Rightarrow C=1$
Suy ra $\int\limits_{0}^{1}{{f}'\left( x \right)d\text{x}}=\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{-1}{x+1}d\text{x}}\Leftrightarrow f\left( 1 \right)-f\left( 0 \right)=-\ln 2$.
Lấy nguyên hàm 2 vế ta có: $\int{\dfrac{d\left[ {f}'\left( x \right) \right]}{{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}}}=\int{d\text{x}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{{f}'\left( x \right)}=x+C\Rightarrow {f}'\left( x \right)=\dfrac{-1}{x+C}$
Do ${f}'\left( 0 \right)=-1\Rightarrow C=1$
Suy ra $\int\limits_{0}^{1}{{f}'\left( x \right)d\text{x}}=\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{-1}{x+1}d\text{x}}\Leftrightarrow f\left( 1 \right)-f\left( 0 \right)=-\ln 2$.
Đáp án B.