Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên ℝ và thỏa mãn $f(0)=-2$...

Đặt $t=2\text{x}\Rightarrow dt=2\text{dx}$ nên $I=\int\limits_{0}^{2}{x.{f}'(2\text{x})d\text{x}}=\int\limits_{0}^{4}{\dfrac{t}{2}{f}'(t).\dfrac{dt}{2}}=\dfrac{1}{4}\int\limits_{0}^{4}{t{f}'(t)dt}=\dfrac{1}{4}\int\limits_{0}^{4}{x{f}'(x)d\text{x}}$
Lại có: $\int\limits_{0}^{4}{x{f}'(x)d\text{x}}=\left. xf(x) \right|_{0}^{4}-\int\limits_{0}^{4}{f(x)d\text{x}}=f(4)-\int\limits_{0}^{4}{f(x)dx}$
Mặt khác $f(x)+f(4-x)={{x}^{2}}-4\text{x}+1\Rightarrow \int\limits_{0}^{4}{f(x)d\text{x}}+\int\limits_{0}^{4}{f(4-x)d\text{x}}=\dfrac{-20}{3}$ (*)
Do $\int\limits_{0}^{4}{f(4-x)d\text{x}}=-\int\limits_{0}^{4}{f(4-x)d(4-x)}=-\int\limits_{4}^{0}{f(u)du}=\int\limits_{0}^{4}{f(u)du}$
Suy ra (*) $\Leftrightarrow 2\int\limits_{0}^{4}{f(x)d\text{x}}=\dfrac{-20}{3}\Rightarrow \int\limits_{0}^{4}{f(x)d\text{x}}=\dfrac{-10}{3}$
Thay $x=0$ vào giả thiết ta được $f(0)+f(4)=1\Rightarrow f(4)=3$ nên $I=\dfrac{1}{4}\left( 2+\dfrac{10}{3} \right)=\dfrac{19}{12}$.