Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f(0)=3$ và $f(x)+f(2-x)={{x}^{2}}-2x+2,\forall x\in \mathbb{R}$. Tích phân $\int\limits_{0}^{2}{x{f}'(x)\text{d}x}$ bằng
A. $\dfrac{-4}{3}$.
B. $\dfrac{2}{3}$.
C. $\dfrac{5}{3}$.
D. $\dfrac{-10}{3}$.
Thay $x=0$ ta được $f(0)+f(2)=2\Rightarrow f(2)=2-f(0)=2-3=-1$
Ta có: $\int\limits_{0}^{2}{f(x)\text{d}x}=\int\limits_{0}^{2}{f(2-x)\text{d}x}$
Từ hệ thức đề ra: $\int\limits_{0}^{2}{\left( f(x)+f(2-x) \right)\text{d}x}=\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)\text{d}x}=\dfrac{8}{3}\Rightarrow \int\limits_{0}^{2}{f(x)\text{d}x}=\dfrac{4}{3}.$
Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta lại có:
$\int\limits_{0}^{2}{x{f}'(x)\text{d}x}=\left. xf(x) \right|_{0}^{2}-\int\limits_{0}^{2}{f(x)\text{d}x}=2.(-1)-\dfrac{4}{3}=-\dfrac{10}{3}.$
A. $\dfrac{-4}{3}$.
B. $\dfrac{2}{3}$.
C. $\dfrac{5}{3}$.
D. $\dfrac{-10}{3}$.
Thay $x=0$ ta được $f(0)+f(2)=2\Rightarrow f(2)=2-f(0)=2-3=-1$
Ta có: $\int\limits_{0}^{2}{f(x)\text{d}x}=\int\limits_{0}^{2}{f(2-x)\text{d}x}$
Từ hệ thức đề ra: $\int\limits_{0}^{2}{\left( f(x)+f(2-x) \right)\text{d}x}=\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)\text{d}x}=\dfrac{8}{3}\Rightarrow \int\limits_{0}^{2}{f(x)\text{d}x}=\dfrac{4}{3}.$
Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta lại có:
$\int\limits_{0}^{2}{x{f}'(x)\text{d}x}=\left. xf(x) \right|_{0}^{2}-\int\limits_{0}^{2}{f(x)\text{d}x}=2.(-1)-\dfrac{4}{3}=-\dfrac{10}{3}.$
Đáp án D.