. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên $R .$ Biết...

The Knowledge · 19/12/21

Câu hỏi: . Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên

R .

Biết

f (2) = 3

và

\int_{- 1}^{3} f (\sqrt{x + 1}) d x = 4,

khi đó

\int_{0}^{2} x^{2} f^{'} (x) d x

bằng
A. 8.
B. 4.
C. 10.
D. 6.

Đặt

t = \sqrt{x + 1} \Rightarrow t^{2} = x + 1 \Rightarrow 2 t d t = d x

Đổi cận ta được

\int_{1}^{3} f (\sqrt{x + 1}) d x = \int_{0}^{2} f (t) .2 t d t = 2 \int_{0}^{2} t . f (t) d t = 4 \Leftrightarrow \int_{0}^{2} x . f (x) d x = 2

.
Mặt khác

I = x^{2} f^{'} (x) d x

ta đặt

{\begin{aligned} u = x^{2} \\ d v = f^{'} (x) d x \end{aligned} \Rightarrow {\begin{aligned} d u = 2 xdx \\ v = f (x) \end{aligned}

.
Suy ra

I = {x^{2} f (x) |}_{0}^{2} - 2 \int_{0}^{2} x . f (x) d x = 4. f (2) - 2.2 = 8

.

Đáp án A.

. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R. Biết...