Google
Câu hỏi: . Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}.$ Biết $f\left( 2 \right)=3$ và $\int\limits_{-1}^{3}{f\left( \sqrt{x+1} \right)dx}=4,$ khi đó $\int\limits_{0}^{2}{{{x}^{2}}{f}'\left( x \right)dx}$ bằng
A. 8.
B. 4.
C. 10.
D. 6.
A. 8.
B. 4.
C. 10.
D. 6.
Đặt $t=\sqrt{x+1}\Rightarrow {{t}^{2}}=x+1\Rightarrow 2t\text{d}t=d\text{x}$
Đổi cận ta được $\int\limits_{1}^{3}{f\left( \sqrt{x+1} \right)d\text{x}}=\int\limits_{0}^{2}{f\left( t \right).2t\text{d}t}=2\int\limits_{0}^{2}{t.f\left( t \right)dt}=4\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{2}{x.f\left( x \right)d\text{x}}=2$.
Mặt khác $I={{x}^{2}}{f}'\left( x \right)d\text{x}$ ta đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u={{x}^{2}} \\
& dv={f}'\left( x \right)d\text{x} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=2\text{xdx} \\
& v=f\left( x \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra $I=\left. {{x}^{2}}f\left( x \right) \right|_{0}^{2}-2\int\limits_{0}^{2}{x.f\left( x \right)d\text{x}}=4.f\left( 2 \right)-2.2=8$.
Đổi cận ta được $\int\limits_{1}^{3}{f\left( \sqrt{x+1} \right)d\text{x}}=\int\limits_{0}^{2}{f\left( t \right).2t\text{d}t}=2\int\limits_{0}^{2}{t.f\left( t \right)dt}=4\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{2}{x.f\left( x \right)d\text{x}}=2$.
Mặt khác $I={{x}^{2}}{f}'\left( x \right)d\text{x}$ ta đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u={{x}^{2}} \\
& dv={f}'\left( x \right)d\text{x} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=2\text{xdx} \\
& v=f\left( x \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra $I=\left. {{x}^{2}}f\left( x \right) \right|_{0}^{2}-2\int\limits_{0}^{2}{x.f\left( x \right)d\text{x}}=4.f\left( 2 \right)-2.2=8$.
Đáp án A.