Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm, liên tục trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$ và thỏa mãn $x{{f}^{'}}(x)+2{{x}^{2}}=f(x)+2{{x}^{3}},\forall x\ne 0$ $f(1)=2$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x)$ và $y={{f}^{'}}(x)$
A. $\dfrac{5}{4}$.
B. $\dfrac{5}{2}$.
C. $\dfrac{2}{3}$.
D. $\dfrac{4}{3}$.
A. $\dfrac{5}{4}$.
B. $\dfrac{5}{2}$.
C. $\dfrac{2}{3}$.
D. $\dfrac{4}{3}$.
$x{{f}^{'}}(x)+2{{x}^{2}}=f(x)+2{{x}^{3}}\Leftrightarrow \dfrac{x{{f}^{'}}(x)-f(x)}{{{x}^{2}}}=2x-2\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{f(x)}{x} \right)}^{'}}=2x-2$
$\Rightarrow \dfrac{f(x)}{x}=\int{(2x-2)dx}={{x}^{2}}-2x+C$. Do $f(1)=2\Rightarrow C=3$
Vậy $f(x)={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x;{{f}^{'}}(x)=3{{x}^{2}}-4x+3$
Ta có:$f(x)={{f}^{'}}(x)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right. $. Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $ y=f(x) $ và $ y={{f}^{'}}(x) $ là: $ S=\int\limits_{1}^{3}{\left| {{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+7x-3 \right|}dx= $ $ \dfrac{4}{3}.$.
$\Rightarrow \dfrac{f(x)}{x}=\int{(2x-2)dx}={{x}^{2}}-2x+C$. Do $f(1)=2\Rightarrow C=3$
Vậy $f(x)={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x;{{f}^{'}}(x)=3{{x}^{2}}-4x+3$
Ta có:$f(x)={{f}^{'}}(x)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right. $. Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $ y=f(x) $ và $ y={{f}^{'}}(x) $ là: $ S=\int\limits_{1}^{3}{\left| {{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+7x-3 \right|}dx= $ $ \dfrac{4}{3}.$.
Đáp án D.