Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ 0;\dfrac{\pi }{4} \right]$ thỏa mãn $f(0)=0$, $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{{{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}d\text{x}}=2$ và $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\sin 2\text{x}.f(x)d\text{x}}=\dfrac{1}{2}$. Tích phân $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{f(x)d\text{x}}$ bằng:
A. $-\dfrac{1}{2}$
B. $\dfrac{1}{2}$
C. $-\dfrac{1}{4}$
D. $\dfrac{1}{4}$
A. $-\dfrac{1}{2}$
B. $\dfrac{1}{2}$
C. $-\dfrac{1}{4}$
D. $\dfrac{1}{4}$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=f(x)\Rightarrow du={f}'(x)d\text{x} \\
& dv=\sin 2\text{xdx}\Rightarrow v=-\dfrac{1}{2}\cos 2x \\
\end{aligned} \right.$
Ta có: $\dfrac{1}{2}=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\sin 2\text{x}.f(x)dx}=\left. \left( -\dfrac{f(x)}{2}\cos 2x \right) \right|_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}+\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\dfrac{1}{2}\cos 2x.{f}'(x)dx}$.
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{(\cos 2x).{f}'(x)dx}=1\Rightarrow \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{(\cos 2x).{f}'(x)dx}=2$
Mà $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{{{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}dx}=2$ nên $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{(2\cos 2x).{f}'(x)dx}=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{{{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}dx}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{(2\cos 2x).{f}'(x)dx}-\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{{{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}dx}=0$
$\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\left[ (2\cos 2x).{f}'(x) \right]-{{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}dx}=0\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\left[ (2\cos 2x)-{f}'(x) \right].{f}'(x)dx}=0$
$\Rightarrow {f}'(x)=2\cos 2x$.
$\Rightarrow f(x)=\sin 2x+C$.
Mà $f(x)=0$ nên $C=0\Rightarrow f(x)=\sin 2\text{x}$.
$\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{f(x)d\text{x}}=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\sin 2\text{xdx}}=\left. \left( -\dfrac{1}{2}\cos 2x \right) \right|_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}=\dfrac{1}{2}$.
* Phương pháp chung
+ Thấy đề bài cho hai tích phân $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{{{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}d\text{x}}$ và $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\sin 2x.f(x)d\text{x}}$ nên cần làm xuất hiện ${f}'(x)$ trong tích phân.
+ Một số công thức đạo hàm cơ bản sử dụng trong bài toán:
$(\sin 2\text{x}{)}'=2\cos 2x$.
Tổng quát: $(\sin n\text{x}{)}'=n\cos nx$.
$(\cos 2x{)}'=-2\sin 2x$.
Tổng quát: $(\cos nx{)}'=-n\sin nx$.
+ Một số công thức nguyên hàm cơ bản sử dụng trong bài toán:
$\int{\sin 2\text{xdx}}=-\dfrac{1}{2}\cos 2x+C$.
Tổng quát: $\int{\sin nxdx}=-\dfrac{1}{n}\cos nx+C$.
$\int{\cos 2xdx}=\dfrac{1}{2}\sin 2x+C$.
Tổng quát: $\int{\cos nxdx}=\dfrac{1}{n}\sin nx+C$.
+ Nguyên hàm từng phần $\int{u\text{d}v}=uv-\int{v\text{d}u}$.
& u=f(x)\Rightarrow du={f}'(x)d\text{x} \\
& dv=\sin 2\text{xdx}\Rightarrow v=-\dfrac{1}{2}\cos 2x \\
\end{aligned} \right.$
Ta có: $\dfrac{1}{2}=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\sin 2\text{x}.f(x)dx}=\left. \left( -\dfrac{f(x)}{2}\cos 2x \right) \right|_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}+\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\dfrac{1}{2}\cos 2x.{f}'(x)dx}$.
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{(\cos 2x).{f}'(x)dx}=1\Rightarrow \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{(\cos 2x).{f}'(x)dx}=2$
Mà $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{{{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}dx}=2$ nên $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{(2\cos 2x).{f}'(x)dx}=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{{{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}dx}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{(2\cos 2x).{f}'(x)dx}-\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{{{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}dx}=0$
$\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\left[ (2\cos 2x).{f}'(x) \right]-{{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}dx}=0\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\left[ (2\cos 2x)-{f}'(x) \right].{f}'(x)dx}=0$
$\Rightarrow {f}'(x)=2\cos 2x$.
$\Rightarrow f(x)=\sin 2x+C$.
Mà $f(x)=0$ nên $C=0\Rightarrow f(x)=\sin 2\text{x}$.
$\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{f(x)d\text{x}}=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\sin 2\text{xdx}}=\left. \left( -\dfrac{1}{2}\cos 2x \right) \right|_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}=\dfrac{1}{2}$.
* Phương pháp chung
+ Thấy đề bài cho hai tích phân $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{{{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}d\text{x}}$ và $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\sin 2x.f(x)d\text{x}}$ nên cần làm xuất hiện ${f}'(x)$ trong tích phân.
+ Một số công thức đạo hàm cơ bản sử dụng trong bài toán:
$(\sin 2\text{x}{)}'=2\cos 2x$.
Tổng quát: $(\sin n\text{x}{)}'=n\cos nx$.
$(\cos 2x{)}'=-2\sin 2x$.
Tổng quát: $(\cos nx{)}'=-n\sin nx$.
+ Một số công thức nguyên hàm cơ bản sử dụng trong bài toán:
$\int{\sin 2\text{xdx}}=-\dfrac{1}{2}\cos 2x+C$.
Tổng quát: $\int{\sin nxdx}=-\dfrac{1}{n}\cos nx+C$.
$\int{\cos 2xdx}=\dfrac{1}{2}\sin 2x+C$.
Tổng quát: $\int{\cos nxdx}=\dfrac{1}{n}\sin nx+C$.
+ Nguyên hàm từng phần $\int{u\text{d}v}=uv-\int{v\text{d}u}$.
Đáp án B.